QOJ 6504 Flower's Land

巧妙！

简要题意

一个序列包含 $0,1,2$，有两种操作：

1. 给定区间 $[l,r]$，令其中所有 $a_i\leftarrow (a_i+1)mod3$。
2. 给定区间 $[l,r]$，问如果每次删去该区间内的两个相邻相等元素，最终能不能将其删空。

$1\le n,q\le 5\times {10}^5$。

解法

随机三个矩阵 $A_0,A_1,A_2$，并求出它们各自的逆（大概率有）。容易得出合法串长度一定为偶数，所以两个元素如果配对，那么它们位置的奇偶性不同。那么，给奇数位置放上 $A_{a_i}$，偶数位置放上 $A_{a_i}^{-1}$。假设 $A_0,A_1,A_2$ 两两不可交换，那么当一个区间的矩阵乘积为 $I$ 时可以断言这个串大概率合法；否则一定不合法。矩阵乘积直接用线段树维护，对于每个节点，维护它所代表区间内轮换 $0,1,2$ 次以后的矩阵乘积，那么很容易实现操作 $1$。

随机两个矩阵它们大概率不可交换，即使矩阵大小只有 $2$ 也是如此。然而这个结论我不太会证明。如果实在不放心，矩阵稍微搞大点即可。