ARC162E Strange Constraints

题意

给定长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，求序列 \(B\) 的个数模 \(998244353\)，满足以下条件：

• 值域 \([1, n]\)。
• \(i\) 的个数不超过 \(A_i\)。
• \(B_i\) 的个数不超过 \(A_i\)。

\(1 \le n \le 500\)。

题解

发现按照某种顺序去构造是困难的，考虑倒过来，枚举出现次数。如果某个类出现次数为 \(i\)，那么：它的数值 \(c\) 满足 \(A_c \ge i\)；它的所有 \(i\) 个位置满足 \(A_j \ge i\)。这样的位置总个数可以预处理。那么考虑 DP，记 \(f_{i, j, k}\) 表示大于等于 \(i\) 的已经有 \(j\) 种不同数值，总计 \(k\) 个位置被填满。转移需要枚举一个 \(t\) 表示有多少个出现了 \(i\) 次的数值，似乎是四方？容易发现 \(t, j\) 上界都是 \(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\)，\(k\) 的下界是 \(ij\)。所以实际复杂度差不多是 \(\Theta(n^2\log^2n)\)。