CF1810G The Maximum Prefix

经典套路。

题意

你将随机生成一个长度为 $k$ 的数组 $a$，其中 $a_i$ 有 $p_i$ 概率为 $1$，否则为 $-1$。定义其前缀和数组 $s_i=\sum _{j=1}^i{a}_j,i\in [0,k]$。如果前缀和数组的最大值为 $t(t\in [0,k])$ 那么你将获得 $h_t$ 的权值。给定数组 $p_{1\dots n},h_{1\dots n}$，对于所有 $k=1\dots n$，请输出你获得权值的数学期望。对 ${10}^9+7$ 取模。

数据范围：$1\le n\le 5000,0\le h_i\le {10}^9$。

做法

考虑直接 DP，那么你必须记录当前值和先前的最大值两个信息，状态是 $\mathrm{\Theta }(n^3)$ 的，埋了。接下来考虑容斥，考虑了一年，没做出来。怎么办呢？

首先将问题抽象为一个二维平面上随机生成一串线段，要么向上斜要么向下斜，然后头尾接起来形成的形状的最高点是要考虑的东西。你可以联想到那种一排矩形的问题可以竖过来一层一层 DP。这里同理。不要考虑当前这一步在先前积累下的影响下要怎么走，而是去考虑在开头添加一步对后面的影响。那么我只关心后面的最高高度，它会被平移一下；而当前位置的高度是确定的——$0$。这样就好办了，直接倒过来 DP 就行了。

但是很不幸你必须枚举 $f_{k,0}=1$ 作为转移起点再 DP，这样还是三方。但是没关系，我们发现最终状态是确定且唯一的。所以直接把 DP 转移的方向也全部倒过来，把系数 $h_i$ 填到 $f_{0,i}$ 作为初始状态，然后对于每个 $k$ 统计 $f_{k,0}$ 的值即可。

代码

// Author: kyEEcccccc
 
#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;
 
#define F(i, l, r) for (int i = (l); i <= (r); ++i)
#define FF(i, r, l) for (int i = (r); i >= (l); --i)
#define MAX(a, b) ((a) = max(a, b))
#define MIN(a, b) ((a) = min(a, b))
#define SZ(a) ((int)((a).size()) - 1)
 
constexpr int N = 5005, MOD = 1000000007;
 
LL kpow(LL x, LL k = MOD - 2)
{
    x = x % MOD;
    LL r = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) r = r * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        k >>= 1;
    }
    return r;
}
 
int n, po[N];
int f[2][N];
 
void work(void)
{
    cin >> n;
    F(i, 1, n)
    {
        int x, y; cin >> x >> y;
        po[i] = x * kpow(y) % MOD;
    }
    F(i, 0, n) cin >> f[0][i];
 
    int ci = 1, pi = 0;
    F(i, 1, n)
    {
        F(j, 1, n - i)
        {
            f[ci][j] = ((LL)f[pi][j + 1] * po[i]
                + (LL)f[pi][j - 1] * (1 - po[i] + MOD)) % MOD;
        }
        f[ci][0] = ((LL)f[pi][1] * po[i]
            + (LL)f[pi][0] * (1 - po[i] + MOD)) % MOD;
        cout << f[ci][0] << " \n"[i == n];
        swap(ci, pi);
    }
}
 
signed main(void)
{
    // freopen("test.in", "r", stdin);
    // freopen("test.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(nullptr);
 
    int _; cin >> _;
    while (_--) work();
 
    return 0;
}