UOJ-783 新年的双区间操作

题意

给定一个序列 \(a\)，给一个操作序列 \(m\)，每个操作形如 \((l_i, r_i, x_i, l'_i, r'_i, y_i)\)，表示如果区间 \([l_i, r_i]\) 最大值大于等于 \(x_i\) 则将区间 \([l'_i, r'_i]\) 对 \(y_i\) 取 \(\max\)。现在进行 \(q\) 次修改，每次先将 \(a_p\) 修改为 \(v\)（这个修改是 累积 的），然后 假设 依次执行整个操作序列，询问执行完后序列的最大值应该是多少。

题解

数据结构高妙题。

考虑一个操作 \(i\) 被触发的条件，要么是初始序列中有数能触发它（这是相对朴素的，运用后一种的处理方法一定能做），要么是有某一个操作 \(j\) 满足：\(j < i, [l'_j, r'_j]\cap[l_i, r_i]\neq\varnothing, y_j\ge x_i, \text{操作 j 被触发}\)。最终答案要么是原来序列的全局最大值，要么是所有被触发的操作中，\(y\) 最大的一个。这启发我们，不要正着去考虑 前面满足什么要求，才会触发操作 \(i\)，而是递推 如果操作 \(i\) 被触发，会进一步触发的操作有哪些。这样我们只需要维护一个 \(y\) 的最大值，记作 \(f_i\)。

首先，区间有交这个限制，看起来就是非常丑陋，其它两个限制是个偏序关系的形式，有一火车皮的处理方法。又想到操作被反复统计不会有问题，所以把每个区间拆到线段树节点上，记下 \((x_i, f_i)\) 的信息，查询直接把 \([l'_j, r'_j]\) 放到线段树上，看能触发哪些后续操作。这样就是一个二位偏序加普通线段树问题，于是我们有经典 CDQ 分治。具体地，对操作序列分治，每次递归求完后半段答案以后，前半段按照 \(y\) 排序，后半段按照 \(x\) 排序。双指针加入后半段的操作，就能把两个偏序的限制都去掉，接下来直接在线段树上做区间取 \(\max\)，区间求 \(\max\) 即可。这样预处理出了所有问题。时间复杂度是 \(\Theta(m\log n\log m)\)。