一些套路的备忘笔记

杂项

1. baka's trick：尺取法可以不用删除做到线性，前提是合并两个连续段答案的复杂度比较低。

2. 指定某两个结构的元素不交，可以考虑随机黑白染色，当结构比较简单，元素个数较小时正确率有保证。

3. 对于一些限制很奇怪的选物品题目可以尝试定义一些 $01$ 变量转成规划问题，可以用无穷大的代价描述限制。

4. 树上连通块当然是点分治钦定一个根最好做。点分治不止可以用于路径。

5. xorshift 32 参数: 13 17 5；xorshift 64 参数：13 7 17

6. 区间没有相交只有包含排除，有时候暗示着单调栈。

7. 每次随机一条边，如果加入不产生环就加入，用这样的方式随机产生的树的深度是 $\mathrm{\Theta }(n^{\frac{1}{3}})$，且深度和高度的乘积之和是 $\mathrm{\Theta }(n^{\frac{1}{2}})$。

组合计数类

1. 生成一个结构，每次在原先的基础上进行一些转化得到新的结构。当你发现依次递推非常困难的时候可以考虑从开头插入，考虑第一步对后面生成的结构的影响。这点不只适用于组合计数。

2. 对于 $\sum _{k=1}^m{x}_k=n$ 的限制，在任何解中，本质不同的 $x_k$ 的数目是 $\mathrm{O}(\sqrt{n})$。

3. 一道题目涉及到异或和的时候想想Kummer定理，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})mod2=1⟺k\subseteq n$，这是Lucas定理的一个直接推论。

4. 整除可以单位根反演。

5. 神秘容斥：$\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(m-1{)}^i=m^k$

数论类

1. 处理取模：$xmodp=x-p\lfloor \frac{x}{p}\rfloor$。

2. 处理 $-1$ 的幂：$(-1{)}^a=1-2(amod2)=1-2(a-2\lfloor \frac{a}{2}\rfloor )$，从而把 $a$ 从指数上拿下来。

3. 处理求和式：交换求和顺序，如果不能交换，考虑凭空求和：$x=\sum _0^{x-1}1$。

4. 处理有关上下取整的限制：$x\le \lfloor y\rfloor ⟺x\le y$，$x\ge \lceil y\rceil ⟺x\ge y$，反之亦然，可以这样把取整符号里的除法、根号等去掉然后再把取整加回去。

5. $[x=1]$ 考虑凭空莫反转化成 $\sum _{d|x}\mu (d)$；$[gcd(x,y)=d]$ 考虑枚举 $d$，使得 $Xd=x,Yd=y$，然后变成 $[gcd(X,Y)=1]$，用凭空莫反。

6. 某个数与另一个数互质，可以考虑转化为模另一个数的所有质因子都不为0。当然也可以考虑莫反，这两者其实差不多。

结论类

1. 考虑一个序列a，满足它的和为1，则它的所有循环同构串互不相同，且其中恰好有一个满足其所有部分和为正。（Raney引理，出自《混凝土数学》）

2. 两维值域在 $[1,x]\cap \mathbb{Z}$ 的凸包大小是 $\mathrm{O}(x^{\frac{2}{3}})$。

3. 总共有 $n$ 个点的点集，凸包大小是 $\mathrm{\Theta }(\log n)$ 级别。事实上这是基于随机排列它的前缀最大值序列值个数期望是 $\mathrm{\Theta }(\log n)$。

构造类

1. 减少步数可以考虑 $\text{DP}$ 求最小步数然后反过来构造。

多项式

1. 求 $a$ 模 $2^k$ 的逆元，可以构造 $F(x)=ax-1$，求它在 $mod{x}^k$ 意义下的根，其中 $x$ 在 ${\mathbb{Z}}_2$ 中。那么可以基于牛顿迭代做到 $\mathrm{\Theta }(\log k)$。