一些套路的备忘笔记

杂项

1. baka's trick：尺取法可以不用删除做到线性，前提是合并两个连续段答案的复杂度比较低。

2. 指定某两个结构的元素不交，可以考虑随机黑白染色，当结构比较简单，元素个数较小时正确率有保证。

3. 对于一些限制很奇怪的选物品题目可以尝试定义一些 \(01\) 变量转成规划问题，可以用无穷大的代价描述限制。

4. 树上连通块当然是点分治钦定一个根最好做。点分治不止可以用于路径。

5. xorshift 32 参数: 13 17 5；xorshift 64 参数：13 7 17

6. 区间没有相交只有包含排除，有时候暗示着单调栈。

7. 每次随机一条边，如果加入不产生环就加入，用这样的方式随机产生的树的深度是 \(\Theta(n^{\frac13})\)，且深度和高度的乘积之和是 \(\Theta(n^{\frac12})\)。

组合计数类

1. 生成一个结构，每次在原先的基础上进行一些转化得到新的结构。当你发现依次递推非常困难的时候可以考虑从开头插入，考虑第一步对后面生成的结构的影响。这点不只适用于组合计数。

2. 对于 \(\sum\limits_{k=1}^{m}{x_k} = n\) 的限制，在任何解中，本质不同的 \(x_k\) 的数目是 \(\mathrm O(\sqrt{n})\)。

3. 一道题目涉及到异或和的时候想想Kummer定理，\(\binom{n}{k}\ mod\ 2 = 1\iff k\subseteq n\)，这是Lucas定理的一个直接推论。

4. 整除可以单位根反演。

5. 神秘容斥：\(\sum\limits_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(m-1)^i = m^k\)

数论类

1. 处理取模：\(x \bmod p = x - p\lfloor\frac{x}{p}\rfloor\)。

2. 处理 \(-1\) 的幂：\((-1) ^ a = 1 - 2(a \bmod 2) = 1 - 2(a - 2\lfloor \frac{a}{2}\rfloor)\)，从而把 \(a\) 从指数上拿下来。

3. 处理求和式：交换求和顺序，如果不能交换，考虑凭空求和：\(x = \sum\limits_{0}^{x-1}1\)。

4. 处理有关上下取整的限制：\(x\le \lfloor y\rfloor\iff x\le y\)，\(x \ge\lceil y\rceil\iff x\ge y\)，反之亦然，可以这样把取整符号里的除法、根号等去掉然后再把取整加回去。

5. \([x = 1]\) 考虑凭空莫反转化成 \(\sum\limits_{d | x}\mu(d)\)；\([\gcd(x, y) = d]\) 考虑枚举 \(d\)，使得 \(Xd = x, Yd = y\)，然后变成 \([\gcd(X, Y) = 1]\)，用凭空莫反。

6. 某个数与另一个数互质，可以考虑转化为模另一个数的所有质因子都不为0。当然也可以考虑莫反，这两者其实差不多。

结论类

1. 考虑一个序列a，满足它的和为1，则它的所有循环同构串互不相同，且其中恰好有一个满足其所有部分和为正。（Raney引理，出自《混凝土数学》）

2. 两维值域在 \([1, x]\cap \mathbb Z\) 的凸包大小是 \(\mathrm O(x^\frac23)\)。

3. 总共有 \(n\) 个点的点集，凸包大小是 \(\Theta(\log n)\) 级别。事实上这是基于随机排列它的前缀最大值序列值个数期望是 \(\Theta(\log n)\)。

构造类

1. 减少步数可以考虑 \(\text{DP}\) 求最小步数然后反过来构造。

多项式

1. 求 \(a\) 模 \(2^k\) 的逆元，可以构造 \(F(x) = ax - 1\)，求它在 \(\bmod x^k\) 意义下的根，其中 \(x\) 在 \(\mathbb Z_2\) 中。那么可以基于牛顿迭代做到 \(\Theta(\log k)\)。