扩展欧拉定理笔记

扩展欧拉定理笔记

前置知识

欧拉定理

\[\forall (a, m) = 0, s.t.\, a^{\varphi(m)} \equiv 1\;(mod\;m) \]

简证：考虑\(m\)的简化剩余系\(S\)，它关于模乘法封闭，\(a\)是其中元素。考虑对于所有元素\(b,c\in S\)有\(ab \equiv ac\;(mod\;m) \iff b=c\)。所以把\(S\)中所有元素乘以\(a\)得到的还是\(S\)。考察这两个集合的所有元素乘积，后者比前者多了\(a^{|S|}\)这项，且简化剩余系内所有元素与\(m\)互质，于是可以得到\(a^{|S|} \equiv 1\;(mod\;m)\)，而\(|S| = \varphi(m)\)。证毕。

费马小定理

欧拉定理的直接推论。

\[\forall p \in Prime, s.t.\, a^p \equiv a\;(mod\;p) \]

扩展欧拉定理

\[\forall b > \varphi(m), s.t.\, a^b \equiv a^{\varphi(m) + (b\,mod\,\varphi(m))}\;(mod\;m) \]

应用

对\(b\)和模数\(m\)都没有要求，可以用来在一些性质很不好的题目中化简式子，通过降低幂次来构造解法。

证明

注意到\(\forall a \equiv b\;(mod\;m_1)\and a \equiv b\;(mod\;m_2)\and (m_1,m_2)=1, s.t.\, a\equiv b\;(mod\;m_1m_2)\)。所以考虑用算数基本定理分解式中的\(m=\prod{p_i^{c_i}}\)，如果有\(\forall p_i, s.t.\, a^b \equiv a^{\varphi(m) + (b\,mod\,\varphi(m))}\;(mod\;p_i^{c_i})\)，那么原式成立。下证。

如果\(p_i|a\)，那么\(a=kp_i\)，那么\(a^{\varphi(m) + (b\,mod\,\varphi(m))} = k^{\varphi(m) + (b\,mod\,\varphi(m))}p_i^{\varphi(m) + (b\,mod\,\varphi(m))}\)，又因为\(\varphi(m)\ge\varphi(p_i^{c_i})\ge c_i\)（简单归纳易得最后一个不等号），所以这个数是\(p_i^{c_i}\)的倍数，同理，由于\(b>\varphi(m)\)，所以\(a^b\)也是\(\varphi(m)\)倍数，所以两者模\(p_i^{c_i}\)同余0，于是成立。

如果\(p_i\not|a\)，那么\((a, p_i^{c_i})=1\)，所以直接套用欧拉定理\(a^b \equiv a^{b\,mod\,\varphi(p_i^{c_i})}\;(mod\;p_i^{c_i})\)，则又由\(\varphi(p_i^{c_i})|\varphi(m)\)，可得\(a^b \equiv a^{\varphi(m) + (b\,mod\,\varphi(m))}\;(mod\;p_i^{c_i})\)。

证毕。