扩展欧几里得算法笔记

扩展欧几里得算法笔记

什么是扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是一种数论算法，其功能是求解这样一类二元线性不定方程：

$$ax+by=c$$

这类方程有解的条件是$gcd(a,b)|c$。这个结论依赖于裴蜀定理。扩展欧几里得算法能求出其一个基本形式的一组解，即：

$$ax+by=gcd(a,b)$$

接着可以通过变形获得这个基本形式的通解，而原方程的解可以通过按比例放大的方法获得。

补充：裴蜀定理

若$a,b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数$x,y$,$ax+by$都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。

这个定理的一个显然推论是：

“存在$x,y$使得$ax+by=1$”与“$a,b$互质”互为充要条件。

因此扩展欧几里得算法可以用于求解乘法逆元。

算法思路

考虑一般的欧几里得算法（即辗转相除法），它的原理是：

$$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$

事实上

$$amodb=a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$$

即

$$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$$

因此方程可以写作：

$$ax+by=gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )$$

但是这样我们依然无法在求最大公约数的同时解出$x,y$，所以考虑：

$$b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }=gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$$

这个方程和原来的方程实际上是同一种形式，于是我们可以在递归计算最大公约数的同时求解出$x^{\prime },y^{\prime }$。那么接下来的问题是，如何把$x^{\prime },y^{\prime }$变成$x,y$？很简单：

$$\because gcd(b,a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )=gcd(a,b)$$

$$\therefore b{x}^{\prime }+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }=ax+by\text{恒成立}$$

移项以后我们得到：

$$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-y^{\prime }\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$$

于是大功告成。

代码

#include <bits/stdc++.h>
 
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if (a % b == 0)
    {
        x = 0; y = 1;
        return b;
    }
    int r = exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return r;
}
 
int main(void)
{
    int a, b, c;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    int x, y;
    int d = exgcd(a, b, x, y);
 
    if (c % d == 0)
    {
        x *= c / d; y *= c / d;
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    else
    {
        puts("No");
    }
 
    return 0;
}