随笔分类 - 笔记
摘要:死前学一下。 基本形式与证明 两个形式:拉格朗日隐函数定理与拉格朗日反演公式 拉格朗日隐函数定理-LIFT:许多组合问题中的生成函数 \(F\) 满足某种自递推的关系 \(G\),此时可以应用该定理。 给定形式幂级数 \(G\),存在唯一的 \(F\) 使得 \(F = zG(F)\)。这样的 \(
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摘要:二次剩余的判定 在模奇素数 \(p\) 意义下: \[a^{\frac{p-1}{2}} = \begin{cases} 1, &a \text{是二次剩余}\\ -1, &a \text{不是二次剩余} \end{cases} \]在 \(1\dots p-1\) 这些数中,恰好有二分之一(\(\
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摘要:今天在某群看到了这个神秘东西,似乎是工业上广泛采用的。又看到小雷暴学弟搞了一个不一样的东西,于是去细细分析了一下这个东西的正确率。 问题 维护一个集合,支持插入元素,查询某个元素是不是被插入过。对空间有非常严格的限制(不能储存下所有元素,甚至也不能储存下哈希值集合)。要求绝不能报告出现过的元素为没出
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摘要:在群里被 D 了,这里再强调一下 考虑的是将重链缩成一个点后的结果。 我们大家都知道树的节点深度和是比树的节点高度和要大的,这个直观感受一下就能理解。什么时候这俩东西一样呢?答案是树形态形如一条链的时候。回忆重链剖分,重链剖分的一个性质是如果说我们把所有重链缩成一个点,形成的新树上节点深度最大是 \
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摘要:今天在群里又看到了经典的数论不等式:\(\min x, s.t. L \le ax \bmod b \le R\)。以及不可直呼其名的超越之存在问这个是不是等价于 \(\min at \bmod b, t \in [L, R]\)。实际上当然是等价的。首先我们可以胡乱处理一下令 \(a \perp
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摘要:## A. 基础区间最值操作 ### 问题描述 给定一个序列 $A$,需要支持以下操作: 1. 给定区间,将内部所有元素对 $X$ 取最大值。 1. 询问区间和。 ### 解法 首先,传统的线段树区间操作时间复杂度为 $\Theta(\log n)$,这是基于任何一个区间在线段树上作拆解,最终得到的
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摘要:好多论文没看过,开个坑先。后续更新的笔记会挂在这里。
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摘要:感谢 @unputdownable ## 问题简述 给定素数 $p$,正整数 $x$ 满足 $1 \le x >= 1; } return r; } pair recover(LL x, LL p) { vector a; LL invx = kpow(x, p - 2, p), pp = p; w
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摘要:## 前言 看了 [ShanLunjiaJian 关于这个问题的文章](https://www.luogu.com.cn/blog/uakioi/nv-knapsack),是完全没看懂,沙东队爷的中枢神经内核配置把我偏序了。叉姐在下面提了个论文,论文找不到资源,谁搞到了可以 Q 我一份之类的拜谢了。
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摘要:## 前言 我不太喜欢写板子,但是这个东西的状压 DP 太有启发性了。 ## 问题简述 一个无向图 $G = (V, E)$ 关于点集 $S\subseteq V$ 的斯坦纳树定义为 $G$ 的一个子图 $G' = (V', E')$ 满足: 1. $G'$ 联通 2. $S\subseteq V'
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摘要:杂项 baka's trick:尺取法可以不用删除做到线性,前提是合并两个连续段答案的复杂度比较低。 指定某两个结构的元素不交,可以考虑随机黑白染色,当结构比较简单,元素个数较小时正确率有保证。 对于一些限制很奇怪的选物品题目可以尝试定义一些 \(01\) 变量转成规划问题,可以用无穷大的代价描述限
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摘要:网络最大流等于最小割。构造该割的一种方案的方法是从原点(或汇点)出发只通过残余边到达所有点,将其作为S(或T),然后S->T的所有边是一种最小割。最小割的可行边是跑完最大流以后残余网络上进行强连通缩点,两端不在同一个SCC内的满流正向边;必须边是一个端点和s在同一SCC,另一端点和t在统一SCC的满
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摘要:原理:取模运算低效的原因本质是除法运算的低效。如果能将除法变成其它运算就可以加速。具体地,将除以任意数转化成“乘一个数、除以一个 $2^k$ ”(取 $2^{62}$ 即可确保 `int` 范围内运算较为精确)。需要使用 `__int128` 来进行乘法。 一般来说,模数是常数编译器会优化,速度不会
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摘要:扩展欧拉定理笔记 前置知识 欧拉定理 $$ \forall (a, m) = 0, s.t., a^{\varphi(m)} \equiv 1;(mod;m) $$ 简证:考虑$m$的简化剩余系$S$,它关于模乘法封闭,$a$是其中元素。考虑对于所有元素$b,c\in S$有$ab \equiv a
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摘要:斜率优化笔记 前置知识 在阅读前你需要掌握: 单调队列 线性动态规划 应用场景 斜率优化是一类动态规划优化算法,应用于一类特殊的线性dp问题,当求得当前状态的表达式需要用先前所有状态求最大或最小值时,它可以构造一种类似单调队列的优化,将转移由暴力的$\Theta(n^2)$提升到线性。形式化地,它一
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摘要:扩展欧几里得算法笔记 什么是扩展欧几里得算法 扩展欧几里得算法是一种数论算法,其功能是求解这样一类二元线性不定方程: $$ax + by = c$$ 这类方程有解的条件是$\gcd(a, b) | c$。这个结论依赖于裴蜀定理。扩展欧几里得算法能求出其一个基本形式的一组解,即: $$ax + by
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摘要:多重背包笔记 前置芝士 在看本文之前,需要掌握: 基础dp背包算法; 单调队列 多重背包问题是什么 多重背包是指这样一类问题:给定$n$种物体,每种物体具有三个属性$v$,$w$,$c$,分别代表其体积,价值和数量。要求在其中选出一些,满足第$i$种物品最多选择$c_i$个,体积总和$sum_v \
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