负数和小数点在计算机中的二进制表示

一、负数的表示：

在计算机中，负数以其正值的补码形式表示，补码为该数的反码加一。以下是补码的概念。

1.源码

  一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。

在4字节中，0110 是 6 的原码。

2.反码

  将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。

0110 的反码是 1001

3.补码

　　二进制的反码加1，得到该二进制数的补码，1010则为6在二进制中的补码

1001 的补码是 1010

4.负数运算

　　在二进制中计算5-3，减号表示为加该二进制数的补码

 

5.补码为何是反码+1

• 计算机的补码也相当于算术里的补数

　　要了解补数，首先该了解模的概念。模是指一个计量系统的计数范围，如时钟等，它的计量范围是0~11，模 = 12。计算机也是有一个计量范围，即都存在一个“模”，32位计算机的计量范围是2^32，模 = 2^32。“模”是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，在12小时的时钟里，12点就是0点。

 

• 补数：二者相加等于模的数为补数

  在以模为12的系统中，加9和减3效果是一样的，因此凡是减3运算，都可以用加9来代替。对“模”12而言，9和3互为补数（二者相加等于模）。

　　所以我们可以得出一个结论，即在有模的计量系统中，减一个数等于加上它的补数，从而实现将减法运算转化为加法运算的目的。

# 按以上理论，减一个数等于加上它的补数，所以
 5 - 3
 # 在4位字节，模=16
 5 + (16 - 3)   //模减去3则为3的补数
 # 用二进制表示则为：
 0101 + (10000 - 0011)
 # 等价于
 0101 + ((1 + 1111) - 0011)
 # 等价于
 0101 + (1 + (1111 - 0011))
 # 等价于
 0101 + (1 + 1100) // 括号内是3（0011）的反码+1，正是补码的定义
 # 等价于
 0101 + 1101
 # 所以从这里可以得到
 -3 = 1101
 # 即 `-3` 在计算机中的二进制表示为 `1101`，正是“ -3 的正值 3（`0011`）的补码（`1101`）”。
 # 最后一步 0101 + 1101 等于10010
 #在4位字节中为0010

 

　二、小数点的表示：

1.浮点数表示

• IEEE754 标准

　　计算机是无法识别 . 号的，那么二进制小数中的点需要被保存下来，它是如何保存的呢？

1985年，随着IEEE标准754的推出，制定出了浮点数的统一表示以及运算的标准

　　目前，所有的计算机都支持这个标准，为科学应用程序在不同机器上的可移植性鉴定了基础

• 标准公式

 　　V = (-1)s * M * 2E  或   V=（-1）sign * mantissa * base * exponent 

　　s:符号  s取1时代表负，取0代表正

　　m:尾数  小数点后面的数，1< m < base,在二进制中，m永远 1 < m <2

　　e:指数   以10为底的指数

　　base：进制数/基数，在计算机中一般为2

• 转换例子

　　例如16.125

　　十进制转换为二进制，整数位与小数位分开转换，16转为10000

　　0.125采用新的转换二进制方法，如下：

将小数位不断乘2，每次取其整数部位数的0或1，直到小数位变成0
0.125 * 2 =0.25  ———>  0
0.250 * 2 =0.50  ———>  0
0.500 * 2 =1.00  ———>  1

　　得出0.125二进制表示为001，因此16.125二进制表示为10000.001

　　使用IEEE754标准表示为 16.125=1.0000001*24

　　1.0000001为尾数，2为基数，4为指数

 

2.浮点数存储

• 单精度浮点数

　　以float类型为例，它是单精度存储类型，占4个字节，一个字节有8位，因为它占32位内存空间

　　

 

 　　将16.125=10000.001=1.0000001*24的二进制存储到float中，s为0，E为4，M为1.0000001

　　值得注意的是，指数E有一个偏移值为127，正数则是加，负数则减；尾数M因在二进制中始终 1< M <2,所以M的第一位数永远为1，需在计算机中省略掉

　　指数127+4=131转为二进制10000011，尾数为0000001，需补齐23位，填入内存中为：

　　

　　单精度类型float的取值范围是-3.4e38~3.4e38,有效数字为7，由于最高位不为1，可能是8

• 双精度浮点数

　　以double类型为例，它是双精度存储类型，占8个字节，拥有64位内存

　　

 

　　其存储方式与单精度相同，只是存储的大小和精度有所改变

　　双精度类型float的取值范围是-1.7e308~1.7e208，有效数字为15~16

 

3.定点数与浮点数区分

　　计算机中常用的数据表示格式有两种，一是定点格式，二是浮点格式，浮点格式应用较多

• 定义

　　定点数和浮点数，是指在计算机中一个数的小数点的位置是固定的还是浮动的

• 区分

　　1.如果一个数中小数点的位置是固定的，则为定点数；如果一个数中小数点的位置是浮动的，则为浮点数

　　2.定点格式可表示的数值的范围有限，但要求的处理硬件比较简单。而浮点格式可表示的数值的范围很大，但要求的处理硬件比较复杂

　　3.采用定点数表示法的计算机称为定点计算机，采用浮点数表示法的计算机称为浮点计算机。定点机在使用上不够方便，但其构造简单，造价低，一般微型机和单片机大多采用定点数的表示方法。浮点机可表示的数的范围比定点机大得多，使用也比较方便，但是比定点机复杂，造价高，在相同的条件下浮点运算比定点运算速度慢

• 表示法

　　通常将定点数据表示成纯小数或纯整数。为了将数表示成纯小数，通常把小数点固定在数值部分的最高位之前；而为了把数表示成纯整数，则把小数点固定在数值部分的最后面

 

　三、总结

1.负数在计算机中以补码形式存储，补码类似算术里的补数，二进制中补码为反码+1

2.小数点在计算机中以浮点形式存储，采用国际通用IEEE754标准，公式为V = (-1)s * M * 2E

3.除了浮点数还需要了解有定点数，顾名思义，小数点位置固定。

 

参考原文：https://blog.csdn.net/leonliu06/article/details/78685248

　　　　　https://blog.csdn.net/baidu_35812312/article/details/79203971