UPC-6760 Problem H 九连环 【重庆OI2018】等比数列求和&JAVA高精度
题目描述
九连环是一种源于中国的传统智力游戏。如图所示,九个圆环套在一把“剑”上,并且互相牵连。游戏的目标是把九个圆环从“剑”上卸下。
圆环的装卸需要遵守两个规则。
第一个(最右边)环任何时候都可以装上或卸下。
如果第k个环没有被卸下,且第k个环右边的所有环都被卸下,则第k+1个环(第k个环左边相邻的环)可以任意装上或卸下。
与魔方的千变万化不同,解九连环的最优策略是唯一的。为简单起见,我们以“四连环”为例,演示这一过程。这里用1表示环在“剑”上,0表示环已经卸下。
初始状态为1111,每部的操作如下:
1101(根据规则2,卸下第2个环)
1100(根据规则1,卸下第1个环)
0100(根据规则2,卸下第4个环)
0101(根据规则1,装上第1个环)
0111(根据规则2,装上第2个环)
0110(根据规则1,卸下第1个环)
0010(根据规则2,卸下第3个环)
0011(根据规则1,装上第1个环)
0001(根据规则2,卸下第2个环)
0000(根据规则1,卸下第1个环)
由此可见,卸下“四连环”至少需要10步。随着环数增加,需要的步数也会随之增多。例如卸下九连环,就至少需要341步。
请你计算,有n个环的情况下,按照规则,全部卸下至少需要多少步。
输入
输入第一行为一个整数m ,表示测试点数目。
接下来m行,每行一个整数n。
输出
输出共m行,对应每个测试点的计算结果。
样例输入
3
3
5
9
样例输出
5
21
341
提示
对于10%的数据,1≤n≤10。
对于30%的数据,1≤n≤30。
对于100%的数据,1≤n≤105,1≤m≤10。
容易通过题目推出:
000000001 一环 1次
000000011 两环 2次
000000111 三环 5次
000001111 四环 10次
000011111 五环 21次
000111111 六环 42次
001111111 七环 85次
011111111 八环 170次
111111111 九环 341次
可根据两两差值得到规律,当为奇数环时,用的次数是上次的两倍+1次
当为偶数环时,是上一步次数的两倍
因此大体上可以确定次数和环数的关系应该是2^n
但有一个奇数差1的值影响
再次观察次数差值的差值
一环 1次—–>2^0+0———->2^0
两环 2次—–>2^1————->2^1
三环 5次—–>2^2+1———->2^0+2^2
四环 10次—–>2^3+2——–>2^1+2^3
五环 21次—–>2^4+5——–>2^0+2^2+2^4
六环 42次—–>2^5+10——>2^1+2^3+2^5
七环 85次—–>2^6+21——>2^0+2^2+2^4+2^6
八环 170次—–>2^7+42—->2^1+2^3+2^5+2^7
九环 341次—–>2^8+85—->2^0+2^2+2^4+2^6+2^8
可以看出,奇数环时的结果为公比为2^2,首项为2^0的等比数列求和
偶数环时的结果为公比为2^2,首项为2^1的等比数列求和
Sn=A1*(1-q^n)/(1-q)
因此直接用等比数列求和公式即可计算出答案,因为没有取模操作,要用Java高精度写比较方便
import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
import java.net.*;
import java.io.*;
public class Main
{
public static void main(String args[])
{
Scanner scanf = new Scanner(System.in);
int t=scanf.nextInt();
BigInteger one=BigInteger.valueOf(1);
BigInteger three = BigInteger.valueOf(3);
while(t-->0)
{
int n=scanf.nextInt();
BigInteger sum=BigInteger.valueOf(1);
if((n&1)==1)
{
int tmp=(n+1)/2;
BigInteger four=BigInteger.valueOf(4);
while(tmp!=0)
{
if((tmp&1)==1)sum=sum.multiply(four);
four=four.multiply(four);
tmp>>=1;
}
sum=sum.subtract(one);
sum=sum.divide(three);
}
else
{
sum=sum.add(one);
int tmp=n/2;
BigInteger four=BigInteger.valueOf(4);
while(tmp!=0)
{
if((tmp&1)==1)sum=sum.multiply(four);
four=four.multiply(four);
tmp>>=1;
}
sum=sum.subtract(one);
sum=sum.divide(three);
}
System.out.println(sum);
}
}
}