2.1经验误差与过拟合
错误率 = a个样本分类错误/m个样本
精度 = 1 - 错误率
误差:学习器实际预测输出与样本的真是输出之间的差异。
训练误差:即经验误差。学习器在训练集上的误差。
泛化误差:学习器在新样本上的误差。
过拟合:学习器把训练样本学的”太好”,把不太一般的特性学到了,泛化能力下降,对新样本的判别能力差。必然存在,无法彻底避免,只能够减小过拟合风险。
欠拟合:对训练样本的一半性质尚未学好。
2.2评估方法
(在现实任务中,还需考虑时间、存储空间等开销,和其他因此。这里只考虑泛化误差。)
用一个测试集来测试学习其对新样本的判别能力,然后以测试集上的测试误差作为泛化误差的近似。
在只有一个包含m个样例的数据集D,从中产生训练集S和测试集T。
2.2.1留出法
D分为两个互斥的集合,一个作为S,一个作为T。
分层采样:S和T中正例和反例比例一样。
例如D包含500个正例,500反例。分层采样获得含70%样本的S,有350正例,350反例;30%样本的T,有150正例,150反例。
一般采用随机划分、重复进行实验评估后取平均值作为留出法的评估结果。
例如,进行100次随机划分,每次产生一个训练/测试集用于实验评估,100次后得到100个结果,而留出法返回的则是这100个结果的平均。
弊端:T比较小,评估结果不够稳定准确,偏差大。
常见将大约2/3~4/5的样本用于训练,剩余样本用于测试。
2.2.2交叉验证法
将D划分为k个大小相似的互斥子集。(D通过分层采样得到每个子集Di,保持数据分布一致性)。每次用k-1个子集的并集作为训练集,余下那个作测试集。即可获得K组训练/测试集,进行K次训练和测试,最终返回k个测试结果的均值。也称”k折交叉验证”。
为减小因样本划分不同而引入的差别,k折交叉验证要随机使用不同的划分重复p次,最终评估结果是这p次k折交叉验证结果的均值,即进行p*k次训练/测试。
留一法:m个样本划分成m个子集,每个子集包含一个样本。留一法中被实际评估的模型与期望评估的用D训练出来的模型很相似,因此,留一法的评估结果往往被认为比较准确。
留一法缺陷:数据集较大,例如,数据集包含100w个样本,则需训练100w个模型。且留一法的估计结果未必比其他评估法准确。
2.2.3自助法
从m个样本的数据集D,随机采样(选)一个样本,拷贝入训练D’,放回,继续随机挑选,直至m次。
样本在m次采样中始终不被踩到的概率(1-1/m)^m。
实际评估的模型与期望评估的模型都使用m个训练样本,而仍有约1/3的没有在训练集的样本用于测试。
自助法在数据集较小、难以有效划分训练/测试集时很有用。在初始数据量足够时,留出法和交叉验证法更常用。
2.2.4调参与最终模型
①选择适合的学习算法
②对算法参数进行设定,调参
2.3性能度量
性能度量:衡量模型泛化能力的评价标准。
给定样例集D={(x1,y1),(x2,y2),……,(xm,ym)},yi是对xi的真实标记,要评估学习器f的性能,就要把学习器预测结果f(x)与真实标记y进行比较。
均方误差:
数据分布D和概率密度函数p(.),均方误差:
2.3.1错误率与精度
错误率:分类错误的样本数占样本总数的比例。
精度:分类正确的样本数占样本总数的比例。
数据分布D和概率密度函数p(.)。
错误率:
精度:
2.3.2查准率、查全率与F1
二分类
True positive 真正例
False positive 假正例
True negative 真反例
False negative 假反例
TP+FP+TN+FN = 样例总数
①查准率P
查全率R
通常,查准率高时,查全率偏低;查全率高时,查准率偏低。
例如,若希望好瓜尽可能的挑选出来,则可通过增加选瓜的数量来实现,查准率就会低;
若希望挑出的瓜中好瓜比例尽可能高,则可挑选有把握的瓜,必然会漏掉好瓜,查全率就低了。
学习器把最可能是正例的样本排在前面。按此排序,把样本作为正例进行预测,根据PR绘图。
如果一个学习器的PR曲线包住了另一个,则可以认为A的性能优于C。
如果有交叉,如A、B,期望PR双高,综合考虑PR性能。
引入平衡点(BEP),基于BEP比较,A优于B。
②更常用的是F1度量:
Fβ :F1的一般形式,能让我们表达对查准率/查全率的不同偏好。
Β>0度量了查全率对查准率的相对重要性;β=1退化为F1;β>1查全率有更大影响;β<1查准率有更大影响。
③在混淆矩阵上分别计算查准率和查全率,在计算平均值,得到宏查准率,宏查全率,以及宏F1。
④将各混淆矩阵的对应元素进行平均,得到TP、FP、TN、FN的平均值,记为,在计算出微查准率,微查全率,以及微F1。
2.3.3 ROC AUC
最可能是正例的样本排在前面,按此排序。排序中某个截断点,前一部分判断正例,后一部分为反例。不同任务中根据需求划分截断点;重视查准率,靠前位置截断;重视查全率,靠后位置截断。
ROC:纵轴:真正例率TPR;横轴:假正例率FPR
现实中,有限个测试样例绘制ROC,不可能光滑。只能像右图一样。
前一个标记点坐标为(x,y),当前若为真正例,则标记为;假正例,用线段连接。
若一个学习器的ROC曲线被另一个包住,后者的性能能优于前者;若交叉,判断ROC曲线下的面积,即AUC。
AUC考虑的是样本预测的排序质量,因此它与排序误差有紧密联系。给定m+个正例,m-个反例,令D+和D-分别表示正、反例集合,则排序”损失”定义为
Lrank对应ROC曲线之上的面积:若一个正例在ROC曲线上标记为(x,y),则x恰是排序在期前的所有反例所占比例,即假正例,因此:
2.3.4代价敏感错误率与代价曲线
代价矩阵:
costij表示将第i类样本预测为第j类样本的代价。
非均等代价下,希望总体代价最小化。
若假设第0类为正类,1为反类。D+代表例集正例子集,D-反例子集,则代价敏感错误率为:
在非均等代价下,ROC不能直接反应出学习器的期望总体代价,代价曲线可以。横轴为[0,1]的正例函数代价
p是样例为正例的概率;纵轴是取值为[0,1]的归一化代价
FPR假正例率,FNR=1-TPR假反例率。
ROC每个点,对应代价平面上一条线。
例如,ROC上(TPR,FPR),计算出FNR=1-TPR,在代价平面上绘制一条从(0,FPR)到(1,FNR)的线段,面积则为该条件下期望的总体代价。所有线段下界面积,所有条件下学习器的期望总体代价。
按照图来看,最终总体代价越来越小。(学习器,不断进步!)
2.4比较检验
默认以错误率为性能度量,用ε表示。
2.4.1假设检验
学习器泛化错误率,并不能测量;只能获知其测试错误率。泛化错误与测试错误率未必相同,但两者接近的可能性比较大,因此,用后者估推出泛化错误率的分布。
泛化错误为的学习器在一个样本上犯错的概率是;测试错误率意味着在m个测试样本中恰有*m个被误分类。
包含m个样本的测试集上,泛化错误率为的学习器被测得测试错误率为的概率:
即为
给定测试错误率,则解可知,在时最大,增大时减小。符合二项分布。
例如,=0.3,则10个样本中3个被误分类的概率最大。
①我们根据图表粗略估计ε0,比如这幅图当中ε0可取5,6,7都可以,然后求出总体概率α,我们把大多数样本分布的区间1-α称为置信区间,所以只要不超过ε0,即在置信度下就是符合条件的假设 ,否则被抛弃,即在α显著度下。
②t检验
多次重复留出法或是交叉验证法等进行多次训练/测试,得到多个测试错误率。
平均测试错误率μ和方差σ²为
考虑到这k个测试错误率可看作泛化错误率的独立采样,则变量
服从自由度为k-1的t分布。
当测试错误率均值为时,在1-α概率内观测到最大的错误率,即临界值。
双边假设,阴影部分各有α/2的面积;阴影部分范围为和。
若平均错误率μ与之差|μ-|位于临界值范围内,则可认为泛化错误率为,置信度为1-α;否则,认为在该显著度下可认为泛化错误率与有显著不同。
2.4.2 交叉验证t检验
对不同学习器的性能进行比较。
两个学习器A、B,若使用k折交叉验证法得到的测试错误率分别为,其中是在相同的第i折训练/测试集上得到的结果,可用k折交叉验证”成对t检验”来进行比较检验。,使用相同的训练/测试集的测试错误率相同,两个学习器性能相同。
k折交叉验证产生k对测试错误率:对没对结果求差;若性能相同则是0。用,t检验,计算差值的均值μ和方差σ²。
若变量小于临界值,则认为两个学习器的性能没有显著差别;否则,可认为两个学习器性能有显著差别,错误平均率小的那个学习器性能较优。
5*2交叉验证
假设检验的前提:测试错误率均为泛化错误率的独立采样。
因样本有限,加查验证不同轮次训练集有重叠,测试错误率实际上不独立,会导致过高估计假设成立的概率。5*2交叉验证,可缓解这一问题。
5*2交叉验证,5次2折交叉验证。A、B第i次2折交叉验证产生两对测试错误率,对它们分别求差,得到第1折上的差值和第2折上的差值。为缓解测试错误率的非独立性,仅计算第一次2折交叉验证的结果平均值。
对每次结果都计算出方差
变量服从自由度为5的t分布,其双边检验的临界值。
当α=0.05时为2.5706;α=0.1是为2.0150。
2.4.3 McNemar检验
列联表:估计学习器A、B的测试错误率;获得两学习分类结果的差别,两者都正确,都错误或者一个正确一个错。
若假设A、B学习器起能相同,则应由e01=e10,那么|e01-e10|应服从正态分布。McNemar检验考虑变量,服从自由度为1的分布,即标准正态分布变量的平方。给定显著度α,当以上变量值小于临界值时,认为两学习器性能没有显著差别;否则性能又显著差别。当α=0.05时为3.8415;α=0.1是为2.7055.
2.4.4 Friedman检验与 Nemenyi后续检验
①一组数据集上对多个算法进行比较,基于算法排序的Friedman检验。
假定用D1、D2、D3、D4四个数据集对ABC进行比较,由好到怀排序,并赋予序值1,2,……
性能相同,平均序值应当相同。
假定N个数据集上比较k个算法,令ri表示第i个算法的平均序值。简化考虑不考虑平分均值的情况,则ri的平均值和方差分别为。
变量
在k和N都较大时,服从自由度为k-1的分布。
上述为原始Friedman检验,过于保守,现在通常使用变量。
其中由原式得到。服从自由度为k-1和(k-1)(N-1)的F分布。
若”所有算法的性能相同”这个假设被拒绝,说明算法的性能显著不同。
②Nemenyi后续检验
进行”后续检验”来进一步区分个算法,常用的有 Nemenyi后续检验。
Nemenyi检验计算出平均序值差别的临界值域
下表给出α=0.05和0.1时常用的qα值,若两个算法的平均序值之差超出了临界值域CD,则以相应的置信度拒绝”两个算法性能相同”这一假设。
若大于α=0.05时的F检验临界值5.143,因此拒绝”所有算法性能相同”这个假设;用Nemenyi后续检验,选择k的q,根据式算出CD,可知算法两两之间是否有显著差别。
根据上面表2.5绘制出Friedman检验图。
横轴:平均序列,每个算法用原点表示平均序列,横线表示临界值域大小。从图中观察,若两算法横线段有交叠,说明没有显著差别。例如图中,算法A和B没有显著差别,而算法A优于算法C,无交叠区。
2.5偏差与方差
偏差-方差分解:解释学习算法泛化性能的一种重要工具。
①偏差
对测试样本x,令yD为x在数据集中的标记,y为x的真实标记,f(x;D)为训练集D上学得模型f在x上的预测输出。
以回归任务为例,学习算法的期望预测为
使用样本数相同的不同训练集产生的方差为
噪声为
期望输出与真是标记的差别成为偏差(bias),即。
假定噪声期望为0,通过简单的多项式展开合并,可对算法的期望泛化误差进行分解:
即泛化误差可分解为偏差、方差与噪声之和。
范围性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的。
②方差
偏差和方差是有冲突的。
训练不足时,由偏差主导泛化误差;训练充足时,有方差主导泛化误差。