抽奖概率的计算推导

场景：抽奖池里有6个物品，每个物品的被抽概率相等，求问平均抽多少次能抽到所有6个物品。

前提：抽到6个物品后不再继续抽奖。

 

高中数学已经忘的差不多了，只能硬推导了。

第n次抽全6个物品，说明前n-1次抽到了5个物品，所以可以做如下推导

 

抽n次只拿到1个物品的组合：C(6,1) * H1.  (H1=1)

抽n次只拿到2个物品的组合：C(6,2) * H2.  (H2=2^n-C(2,1)*H1) （所有组合减去只抽到一个物品的组合）

抽n次只拿到3个物品的组合：C(6,3) * H3.  (H3=3^n-C(3,2)*H2-C(3,1)*H1)

抽n次只拿到4个物品的组合：C(6,4) * H4.  (H4=4^n-C(4,3)*H3-C(4,2)*H2-C(4,1)*H1)

抽n次只拿到5个物品的组合：C(6,5) * H5.  (H5=5^n-C(5,4)*H4-C(5,3)*H3-C(5,2)*H2-C(5,1)*H1)

多项式合并得到抽n次拿到5个物品组合的个数是H(n) = 5^n-5*4^(n-1)+10*3^(n-1)-10*2^(n-1)+5

 

易得到第n次抽全6个物品的概率是 H(n-1) * 6 / (6^n) = H(n-1) / 6^(n-1)

继续使用excel

从表中看到，当n超过12的时候，随着n越来越大，第n次抽全的概率越来越小，看上去有点奇怪，其实是因为第n次抽全要求前面n-1次必须抽到刚好5个奖品，所以概率会越来越小。

验证了一下，所有概率加起来趋向于1，说明公式是正确的。

计算结果：平均大概15次就能抽全6个物品。

 

多项式合并好tm累啊，推导加验算来回折腾搞了2个多小时，又没法lol了。