数据库学习摘记 —— 关系模式的函数依赖

关系与关系模式的联系：

关系模式是相对稳定的，静态的，是把所有元组删去后的一张空表格，是对元组数据组织方式的结构描述，而关系却是动态变化的，不稳定的，是将若干元组填入关系模式后得到的一个取值实例。每一个关系对应一个关系模式，每一个关系模式可以定义多个关系。

关系模式R(U)对应的具体关系通常用小写字母r来表示。

函数依赖：

设R(U)是属性集U={A1, A2, …, An}上的关系模式，X和Y是U的子集。若对R(U)的任一具体关系r中的任意两个元组t1和t2，只要t1[X]=t2[X] 就有t1[Y]=t2[Y]。则称"X函数确定Y" 或"Y函数依赖于X"，记作X→Y，X为这个函数依赖的决定因素。

函数依赖要求R(U)的一切具体关系r都要满足的约束条件。

若X→Y且Y→X，则记作X⇿Y

平凡函数依赖：X→Y，Y⊆X    // 对于任一关系模式，平凡函数依赖必然是成立的

非平凡函数依赖：X→Y，Y⊄X

完全函数依赖：

如果X→Y，且对于X的任何一个真子集X'，都有X不函数确定Y ，则称Y对X完全函数依赖或者X完全决定Y，记作：

部分函数依赖：

如果X→Y，但Y不是完全函数依赖于X，则称Y 对X部分函数依赖，记作：

传递函数依赖：

如果X→Y，Y→Z，且 Y→X，Y⊄X，Z⊄Y,则称Z对X传递函数依赖，记作:

候选键：

对关系模式R(U)，设K⊆U，且K完全函数确定U，则K为能够唯一确定关系中任何一个元组(实体)的最少属性集合，称K为R(U)的候选键或候选关键字。

【R(U，F)，U={ A，B，C，D，E，G }，F={AB→C，CD→E，E→A，A→G}，求候选键】

因G只在右边出现，所以G一定不属于候选码

而B，D只在左边出现，所以B，D一定属于候选码

BD的闭包还是BD，则对BD进行组合，除了G以外，BD可以跟A，C，E进行组合

先看ABD

ABD本身自包ABD，而AB→C，CD→E，A→G，所以ABD的闭包为ABDCEG=U

再看BDC

CD→E，E→A，A→G，BDC本身自包，所以BDC的闭包为BDCEAG=U

最后看BDE

E→A，A→G，AB→C，BDE本身自包，所以BDE的闭包为BDEAGC=U

因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE

主键：

通常在R(U)的多个候选键中任意选定一个候选键作为主键，也称为主码或主关键字。

当关系模式的属性全体是候选键时，属性全体也就是主键，可称为全键或全码。

主属性与非主属性：

对关系模式R(U)，包含在任何一个候选键中的属性称为主属性，不包含在任何候选键中的属性称为非主属性或非码属性。

外键：

对关系模式R(U)，设X⊆U。若X不是R(U)的主键，但X是另一个关系模式的主键，则称X是R(U)的外键或外部关键字。

函数依赖的逻辑蕴涵：

对于满足函数依赖集F的关系模式R(U，F)的任意一个具体关系r，若函数依赖X→Y都成立，则称F逻辑蕴涵X→Y，记为FX→Y。

若在F中没有X→Y函数依赖，但可以通过F中的现有函数依赖推导得出X→Y，则也记FX→Y。

F的闭包：

被函数依赖集F逻辑蕴涵的函数依赖所构成的集合，称为F的闭包，记作F+。即：F+={X→Y | FX→Y}。显然F⊆ F⁺

函数依赖完备集：

当函数依赖集F= F⁺

Armstrong公理系统：

自反律：如果Y⊆X⊆ U，则X→Y成立，即FX→Y。

增广律：如果X→Y成立，则XZ→YZ 成立（XZ是X∪Z的简单记法)，即若FX→Y，则FXZ→YZ。

传递律：如果X→Y，Y→Z成立，则X→Z成立，即若FX→Y，FY→Z，则FX→Z。

合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立，即若FX→Y，FX→Z，则FX→YZ。

伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立，即FX→Y，FWY→Z，则FWX→Z。

分解律：如果X→Y和Z⊆Y成立，那么X→Z成立，即若FX→Y，Z⊆Y，则F X→Z。

推论：对关系模式R(U)，设X⊆U，{A1, A2 ,…,Am}⊆U，则X→{A1, A2 ,…, Am}成立的充分必要条件是

X→Ai (i=1,2,…,m)成立。

属性集X关于F的闭包X+F ：

显然X⊆X⁺_F⊆U

闭包的计算：

设F是属性集U上的函数依赖集,X,Y 是U的子集，则X→Y能由F根据Armstrong公理导出的充分必要条件是 Y⊆X⁺。

【设关系模式R(U)，其属性集上函数依赖：F={AB→C, B→D, C→E, EC→B, AC→B}，令X={A, B}，求X⁺】

解：

第1次：

X(0)= Ø，X(1)={A, B}，F= Ø

由于X(0)≠X(1)，令X(0)＝X(1)={A, B}

函数依赖集F'={ AB→C, B→D}，令F=F-F'={C→E, EC→B, AC→B}，

将F'中的每一个函数依赖的右端属性C,D并入X(1)中，即令X(1)={A, B}∪{C, D}={A, B, C, D}

第2次：

由于X(0)≠X(1)，令X(0)＝X(1)= {A, B, C, D}；

函数依赖集F'={C→E, AC→B}，令F=F-F'={EC→B}

将F'中的每一个函数依赖的右端属性E, B并入X(1)中,即令X(1)={A, B, C, D }∪{E, B}={A, B, C, D, E}

第3次：

由于X(0)≠X(1)，令X(0)＝X(1)= {A, B, C, D, E }

函数依赖集F'={EC→B}，令F=F-F'= Ø

将F'中的每一个函数依赖的右端属性B并入X(1)中，即令X(1)={A, B, C, D, E }∪{B}={A, B, C, D, E}

第4次：

由于X(0)=X(1)，输出X(1)={A, B, C, D, E}=X⁺

{A,B}→U={A, B, C, D, E}，由于{A}U，{B}U，所以{A,B}是侯选键

函数依赖集的等价与覆盖：

如果G⁺=F⁺，就说函数依赖集F与G等价，且F覆盖G，G覆盖F，它的充分必要条件是F⊆G⁺ ，G⊆F⁺

每个函数依赖集F都可以被一个右部只有单属性的函数依赖集G所覆盖。

最小函数依赖集，也称为最小依赖集或最小覆盖：

F中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。

F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价。    // 右部没有冗余的函数依赖

F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。    // 左部没有冗余的属性

每个函数依赖集F都有最小覆盖，并且不唯一。

最小依赖集的计算：

首先将函数依赖集中的每一个依赖的右部进行分裂，再消除冗余函数依赖和每个函数依赖左部的冗余属性。