【算法】【线性表】【数组】两个排序数组的中位数
1 题目
两个排序的数组A和B分别含有m和n个数，找到两个排序数组的中位数，要求时间复杂度应为 O(log(m + n))。
中位数的定义：
- 这里的
中位数等同于数学定义里的中位数。 - 中位数是排序后数组的中间值。
- 如果有数组中有n个数且n是奇数，则中位数为 A((n-1)/2)。
- 如果有数组中有n个数且n是偶数，则中位数为 (A((n-1)/2) + A((n-1)/2+1))/2。
- 比如：数组
A=[1,2,3]的中位数是2，数组A=[1,19]的中位数是10。
样例 1：
输入：
A = [1,2,3,4,5,6]
B = [2,3,4,5]输出：
3.50解释：合并后的数组为[1,2,2,3,3,4,4,5,5,6]，中位数为(3 + 4) / 2。
样例 2：
输入：
A = [1,2,3]
B = [4,5]输出：
3.00解释：合并后的数组为[1,2,3,4,5]，中位数为3。
2 解答
2.1 复杂度 O(m+n)
两个有序数组，定义两个指针分别指向两个数组，然后遍历，找到中间位置的两个数，第一遍这样的：
public class Solution { /** * @param a: An integer array * @param b: An integer array * @return: a double whose format is *.5 or *.0 */ public double findMedianSortedArrays(int[] a, int[] b) { // write your code here double res = 0.0; // 1、如果两个数组都为空 返回0 if (a == null && b == null) { return formatDouble(res); } // 2、如果 a 为空那么就直接计算 b 的中位数 if (a == null || a.length == 0) { return findMedianSortedArraysWithOne(b); } // 3、如果 b 为空，那么就直接计算 a 的中位数 if (b == null || b.length == 0) { return findMedianSortedArraysWithOne(a); } // 4、就剩a b 都不为空的情况了 // int target = (a.length + b.length - 1) / 2; int start = 0; int aIndex = 0; int bIndex = 0; // true 取 a false 取 b boolean flag = false; while (start < target && aIndex < a.length && bIndex < b.length) { if (a[aIndex] <= b[bIndex]) { aIndex ++; start ++; flag = true; continue; } bIndex ++; start ++; flag = false; } System.out.println(String.format("%s-%s-%s-%s-%s", aIndex, bIndex, start, target, flag)); if (aIndex >= a.length) { flag = false; } while (start < target && aIndex < a.length) { aIndex ++; start ++; flag = true; } while (start < target && bIndex < b.length) { bIndex ++; start ++; flag = false; } System.out.println(String.format("%s-%s-%s-%s-%s", aIndex, bIndex, start, target, flag)); if (flag) { res += a[aIndex]; } else { res += b[bIndex]; } if ((a.length + b.length) % 2 != 0) { return formatDouble(res); } else { if (flag) { if (aIndex + 1 < a.length && a[aIndex+1] < b[bIndex]) { res += a[aIndex + 1]; } else { res += b[bIndex]; } } else { if (bIndex + 1 < b.length && b[bIndex+1] < a[aIndex]) { res += b[bIndex + 1]; } else { res += a[aIndex]; } } return formatDouble(res / 2.0); } } // 格式化 double public double formatDouble(double a) { return Double.valueOf(String.format("%.1f", a)); } // 当只有一个数组的情况时，返回某个数组的中位数 // 比如 a 为空 或者 b为空 public double findMedianSortedArraysWithOne(int[] arr) { // 默认返回结果 double res = 0.0; if (arr == null || arr.length == 0) { return formatDouble(res); } if (arr.length <= 1) { return arr[0]; } int len = arr.length; int middle = (len-1) / 2; // 说明有偶数个 if (len % 2 == 0) { return formatDouble((arr[middle] + arr[middle + 1]) / 2.0); } else { return formatDouble(arr[middle]); } } }
上边这个有点啰嗦，优化后的：
public class Solution { /** * @param a: An integer array * @param b: An integer array * @return: a double whose format is *.5 or *.0 */ public double findMedianSortedArrays(int[] a, int[] b) { // write your code here int count = a.length + b.length; // 因为要多找一次 所以 + 1 // 长度5 （5-1）/ 2 = 2 索引为2的位置 找三次 0 1 2 // 长度6 （6-1）/ 2 = 2 索引为2、3的位置 找四次 0 1 2 3 int target = (count - 1) / 2 + 1; int start = 0; // 分别定位 a b 两个数组的索引位置 int aIndex = 0, bIndex = 0; // num 记录中位数 moreNum 表示多找一个 int num = 0, moreNum = 0; while (start <= target) { System.out.println(String.format("%s-%s-%s-%s", num, moreNum, aIndex, bIndex)); num = moreNum; // 当两个数组加起来，只有一个元素的时候，多找一次的话会数组越界，所以这里直接退出 if (bIndex >= b.length && aIndex >= a.length) break; if (bIndex >= b.length || (aIndex < a.length && a[aIndex] <= b[bIndex])) { moreNum = a[aIndex]; aIndex ++; start ++; continue; } moreNum = b[bIndex]; bIndex ++; start ++; } if (count % 2 != 0) { return num; } else { return (num + moreNum) / 2.0; } } }
2.2 复杂度 O(log(m+n))
上边的复杂度大，是因为我们一次遍历就相当于去掉不可能是中位数的一个值，也就是一个一个排除。由于数列是有序的，其实我们完全可以一半儿一半儿的排除。假设我们要找第 k 小数，我们可以每次循环排除掉 k/2 个数。看下边一个例子。
假设我们要找第 7 小的数字：
我们比较两个数组的第 k/2 个数字，如果 k 是奇数，向下取整。也就是比较第 333 个数字，上边数组中的 444 和下边数组中的 333，如果哪个小，就表明该数组的前 k/2 个数字都不是第 k 小数字，所以可以排除。也就是 111，222，333 这三个数字不可能是第 777 小的数字，我们可以把它排除掉。将 134913491349 和 456789104567891045678910 两个数组作为新的数组进行比较。
更一般的情况 A[1] ，A[2] ，A[3]，A[k/2] ... ，B[1]，B[2]，B[3]，B[k/2] ... ，如果 A[k/2]<B[k/2] ，那么A[1]，A[2]，A[3]，A[k/2]都不可能是第 k 小的数字。
A 数组中比 A[k/2] 小的数有 k/2-1 个，B 数组中，B[k/2] 比 A[k/2] 小，假设 B[k/2] 前边的数字都比 A[k/2] 小，也只有 k/2-1 个，所以比 A[k/2] 小的数字最多有 k/1-1+k/2-1=k-2个，所以 A[k/2] 最多是第 k-1 小的数。而比 A[k/2] 小的数更不可能是第 k 小的数了，所以可以把它们排除。
橙色的部分表示已经去掉的数字。
由于我们已经排除掉了 3 个数字，就是这 3 个数字一定在最前边，所以在两个新数组中，我们只需要找第 7 - 3 = 4 小的数字就可以了，也就是 k = 4。此时两个数组，比较第 2 个数字，3 < 5，所以我们可以把小的那个数组中的 1 ，3 排除掉了。
我们又排除掉 2 个数字，所以现在找第 4 - 2 = 2 小的数字就可以了。此时比较两个数组中的第 k / 2 = 1 个数，4 == 4，怎么办呢？由于两个数相等，所以我们无论去掉哪个数组中的都行，因为去掉 1 个总会保留 1 个的，所以没有影响。为了统一，我们就假设 4 > 4 吧，所以此时将下边的 4 去掉。
由于又去掉 1 个数字，此时我们要找第 1 小的数字，所以只需判断两个数组中第一个数字哪个小就可以了，也就是 4。
所以第 7 小的数字是 4。
我们每次都是取 k/2 的数进行比较，有时候可能会遇到数组长度小于 k/2的时候。
此时 k / 2 等于 3，而上边的数组长度是 2，我们此时将箭头指向它的末尾就可以了。这样的话，由于 2 < 3，所以就会导致上边的数组 1，2 都被排除。造成下边的情况。
由于 2 个元素被排除，所以此时 k = 5，又由于上边的数组已经空了，我们只需要返回下边的数组的第 5 个数字就可以了。
从上边可以看到，无论是找第奇数个还是第偶数个数字，对我们的算法并没有影响，而且在算法进行中，k 的值都有可能从奇数变为偶数，最终都会变为 1 或者由于一个数组空了，直接返回结果。
所以我们采用递归的思路，为了防止数组长度小于 k/2，所以每次比较 min(k/2，len(数组) 对应的数字，把小的那个对应的数组的数字排除，将两个新数组进入递归，并且 k 要减去排除的数字的个数。递归出口就是当 k=1 或者其中一个数字长度是 0 了。
嘿嘿，上边的例子，是看的一些题解然后了解二分查找的作用思路后，我自己写的哈：
public class Solution { /** * @param a: An integer array * @param b: An integer array * @return: a double whose format is *.5 or *.0 */ public double findMedianSortedArrays(int[] a, int[] b) { // 长度之和 int count = a.length + b.length; if (count % 2 != 0) { // 奇数情况，返回中间位置 return getKth(a, b, 0, a.length-1, 0, b.length-1, (count-1) / 2 + 1); } else { // 偶数情况，中间两个数求和/2.0 int num1 = getKth(a, b, 0, a.length-1, 0, b.length-1, (count-1) / 2 + 1); int num2 = getKth(a, b, 0, a.length-1, 0, b.length-1, (count-1) / 2 + 2); System.out.println(num1); System.out.println(num2); return (num1 + num2) / 2.0; } } /** * 找到数组中第 K 个大的数 * K从1开始 */ public int getKth(int[] a, int[] b, int aStart, int aEnd, int bStart, int bEnd, int k) { // 当 k <= 1 也就是也就是取一个了 if (k <= 1) { return getValue(a, b, aStart, aEnd, bStart, bEnd); } // 如果 a 数组遍历完了，直接返回 b 数组的 if (aStart > aEnd) { return b[bStart + k-1]; } // 一样，b 数组遍历完了，直接返回 a 数组的 if (bStart > bEnd) { return a[aStart + k-1]; } // 当 k 大于1 的情况下 折半 int middleIndex = k / 2 - 1; int aMax = a[aEnd]; int bMax = b[bEnd]; // a 在范围内，就取范围内的 if (aStart + middleIndex < aEnd) { aMax = a[aStart + middleIndex]; } // b 在范围内，就取范围内的 if (bStart + middleIndex < bEnd) { bMax = b[bStart + middleIndex]; } // 如果aMax较小，那么a这边的都可以排除掉 if (aMax < bMax) { // a 的长度判断 if (aStart + middleIndex < aEnd) { return getKth(a, b, aStart + middleIndex + 1, aEnd, bStart, bEnd, k - (middleIndex+1)); } else { return getKth(a, b, aEnd, -1, bStart, bEnd, k - (aEnd - aStart + 1)); } } else { // b 的长度判断 if (bStart + middleIndex < bEnd) { return getKth(a, b, aStart, aEnd, bStart + middleIndex + 1, bEnd, k - (middleIndex+1)); } else { return getKth(a, b, aStart, aEnd, bEnd, -1, k - (bEnd - bStart + 1)); } } } public int getValue(int[] a, int[] b, int aStart, int aEnd, int bStart, int bEnd) { // 如果 a 数组遍历完了，直接返回 b 数组的 if (aStart > aEnd) { return b[bStart]; } // 一样，b 数组遍历完了，直接返回 a 数组的 if (bStart > bEnd) { return a[aStart]; } // 返回 a、b中较小的那个 return a[aStart] > b[bStart] ? b[bStart] : a[aStart]; } }
3 小结
二分查找的作用点就在折半的去剔除一些元素，比如要第 5 个 那么可以找出每个数组的 第2 个元素，进行比较，小的一方就可以剔除2个，然后继续在剩下的找第3个，依次递归，直到找1个的时候，退出递归哈，加油。
