最短路径算法--Dijkstra
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止
Dijkstra最短路径算法是一种单源最短路径，针对的是非负权边。所谓单源最短路径就是指定一个出发顶点，计算从该源顶点出发到其他所有顶点的最短路径。
基本思想
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通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
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此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
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初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
操作步骤
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初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
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从U中选出”距离最短的顶点k”，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
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更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
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重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。
图解
以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。以下B节点中23应为13。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。
第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
另一种解释
1.1、定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
1.2、算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
代码实现如下：
public class GraphByMatrix {
public static final boolean UNDIRECTED_GRAPH = false;//无向图标志
public static final boolean DIRECTED_GRAPH = true;//有向图标志
public static final boolean ADJACENCY_MATRIX = true;//邻接矩阵实现
public static final boolean ADJACENCY_LIST = false;//邻接表实现
public static final int MAX_VALUE = Integer.MAX_VALUE;
private boolean graphType;
private boolean method;
private int vertexSize;
private int matrixMaxVertex;
//存储所有顶点信息的一维数组
private Object[] vertexesArray;
//存储图中顶点之间关联关系的二维数组,及边的关系
private int[][] edgesMatrix;
// 记录第i个节点是否被访问过
private boolean[] visited;
/**
* @param graphType 图的类型：有向图/无向图
* @param method 图的实现方式：邻接矩阵/邻接表
*/
public GraphByMatrix(boolean graphType, boolean method, int size) {
this.graphType = graphType;
this.method = method;
this.vertexSize = 0;
this.matrixMaxVertex = size;
if (this.method) {
visited = new boolean[matrixMaxVertex];
vertexesArray = new Object[matrixMaxVertex];
edgesMatrix = new int[matrixMaxVertex][matrixMaxVertex];
//对数组进行初始化，顶点间没有边关联的值为Integer类型的最大值
for (int row = 0; row < edgesMatrix.length; row++) {
for (int column = 0; column < edgesMatrix.length; column++) {
edgesMatrix[row][column] = MAX_VALUE;
}
}
}
}
/********************最短路径****************************/
//计算一个顶点到其它一个顶点的最短距离
public void Dijkstra(Object obj) throws Exception {
Dijkstra(getVertexIndex(obj));
}
public void Dijkstra(int v0) {
int[] dist = new int[matrixMaxVertex];
int[] prev = new int[matrixMaxVertex];
//初始化visited、dist和path
for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
//一开始假定取直达路径最短
dist[i] = edgesMatrix[v0][i];
visited[i] = false;
//直达情况下的最后经由点就是出发点
if (i != v0 && dist[i] < MAX_VALUE)
prev[i] = v0;
else
prev[i] = -1; //无直达路径
}
//初始时源点v0∈visited集，表示v0 到v0的最短路径已经找到
visited[v0] = true;
// 下来假设经由一个点中转到达其余各点,会近些,验证之
// 再假设经由两个点中转,会更近些,验证之,.....
// 直到穷举完所有可能的中转点
int minDist;
int v = 0;
for (int i = 1; i < vertexSize; i++) {
//挑一个距离最近经由点,下标装入 v
minDist = MAX_VALUE;
for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {
if ((!visited[j]) && dist[j] < minDist) {
v = j; // 经由顶点j中转则距离更短
minDist = dist[j];
}
}
visited[v] = true;
/*顶点v并入S，由v0到达v顶点的最短路径为min.
假定由v0到v，再由v直达其余各点，更新当前最后一个经由点及距离*/
for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {
if ((!visited[j]) && edgesMatrix[v][j] < MAX_VALUE) {
if (minDist + edgesMatrix[v][j] <= dist[j]) {
//如果多经由一个v点到达j点的 最短路径反而要短,就更新
dist[j] = minDist + edgesMatrix[v][j];
prev[j] = v; //经由点的序号
}
}
}
}
for (int i = 1; i < matrixMaxVertex; i++) {
System.out.println("**" + vertexesArray[v0] + "-->" +vertexesArray[i] + " 的最短路径是：" + dist[i]);
}
}
//获取顶点值在数组里对应的索引
private int getVertexIndex(Object obj) throws Exception {
int index = -1;
for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
if (vertexesArray[i].equals(obj)) {
index = i;
break;
}
}
if (index == -1) {
throw new Exception("没有这个值！");
}
return index;
}
/**
* 单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他!!所有节点!!的最短路径
*/
public void Dijkstra2(int v0) {
// LinkedList实现了Queue接口 FIFO
Queue<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
visited[i] = false;
}
//这个循环是为了确保每个顶点都被遍历到
for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {
if (!visited[i]) {
queue.add(i);
visited[i] = true;
while (!queue.isEmpty()) {
int row = queue.remove();
System.out.print(vertexesArray[row] + "-->");
for (int k = getMin(row); k >= 0; k = getMin(row)) {
if (!visited[k]) {
queue.add(k);
visited[k] = true;
}
}
}
}
}
}
private int getMin( int row) {
int minDist = MAX_VALUE;
int index = 0;
for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {
if ((!visited[j]) && edgesMatrix[row][j] < minDist) {
minDist = edgesMatrix[row][j];
index = j;
}
}
if (index == 0) {
return -1;
}
return index;
}
public boolean addVertex(Object val) {
assert (val != null);
vertexesArray[vertexSize] = val;
vertexSize++;
return true;
}
public boolean addEdge(int vnum1, int vnum2, int weight) {
assert (vnum1 >= 0 && vnum2 >= 0 && vnum1 != vnum2 && weight >= 0);
//有向图
if (graphType) {
edgesMatrix[vnum1][vnum2] = weight;
} else {
edgesMatrix[vnum1][vnum2] = weight;
edgesMatrix[vnum2][vnum1] = weight;
}
return true;
}
}
测试：
@Test
public void testWeight() throws Exception {
GraphByMatrix graph = new GraphByMatrix(Graph.UNDIRECTED_GRAPH, Graph.ADJACENCY_MATRIX, 6);
graph.addVertex("1");
graph.addVertex("2");
graph.addVertex("3");
graph.addVertex("4");
graph.addVertex("5");
graph.addVertex("6");
graph.addEdge(0, 1,7);
graph.addEdge(0, 2,9);
graph.addEdge(0, 5,14);
graph.addEdge(1, 3,15);
graph.addEdge(1, 2,10);
graph.addEdge(2, 3,11);
graph.addEdge(2, 5,2);
graph.addEdge(3, 4,6);
graph.addEdge(4, 5,9);
graph.Dijkstra(0);
System.out.println();
graph.Dijkstra("1");
System.out.println();
graph.Dijkstra2(0);
System.out.println();
**1-->2 的最短路径是：7
**1-->3 的最短路径是：9
**1-->4 的最短路径是：20
**1-->5 的最短路径是：20
**1-->6 的最短路径是：11
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**1-->6 的最短路径是：11
1-->2-->3-->6-->4-->5-->
