前向-后向算法实例
已知HMM模型参数：
转移概率矩阵A：
| 0.5 | 0.2 | 0.3 |
| 0.3 | 0.5 | 0.2 |
| 0.2 | 0.3 | 0.5 |
| 0.5 | 0.5 |
| 0.4 | 0.6 |
| 0.7 | 0.3 |
π=(0.2 , 0.4 , 0.4)
求解：三次取球颜色为（红、白、红）的概率P(O|λ)
提示：盒子相当于三种隐状态，两种颜色的球相当于观测情况，观测序列由（红、白、红）给出
（1）计算初值
a1(2) 代表第一个时间下, 从第二个盒子里取出红球的概率
（2）递推计算
（3）终止条件
关于后向算法，直接以盒子（隐）和球（观测）的实例为例推导：
（1）初始化第三次取球为红球时候，即最终时刻所有状态的概率为1
式中下标为观测情况，括号为隐状态，比如第一个式子意思就是第一个隐状态对应的观测到红球的概率
（2）逆推迭代倒数第二次观察情况为白球的情况
第一个式子表示的是第二次观测，如果状态为1，那么第二、三次观测为（白、红）的联合概率分布，a是第二层隐状态（第一个盒子）转移到第三层隐状态（三个盒子）的转移概率，b表示第三层的三个隐状态观测到红球的概率，β（等式右边）表示已知模型参数和第三层隐状态，求第三次观测到红球的概率，其实第（1）步计算是1
第二个式子表示的是第二次观测，如果状态为2，那么第二、三次观测为（白、红）的联合概率分布，a是第二层隐状态（第二个盒子）转移到第三层隐状态（三个盒子）的转移概率，b表示第三层的三个隐状态观测到红球的概率，β（等式右边）表示已知模型参数和第三层隐状态，求第三次观测到红球的概率，其实第（1）步计算是1
同理推导第一层的情况
（3）计算加和
可以发现前向算法和后向算法的结果相同
【注】前向算法中计算
