*crypto*练2--攻防世界--easy_ECC

利用工具ECCTOOL解题

 

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 ECC相关原理

一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。

椭圆曲线基础理解：

E:y²=ax³+ bx²+cx+d加法

过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

 

 

 

二倍运算

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

 

 

椭圆曲线加密：

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：　　y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)　　(1,7) (1,16)　　(3,10) (3,13)　　(4,0)　　(5,4) (5,19)　　(6,4) (6,19)　　(7,11) (7,12)　　(9,7) (9,16)　　(11,3) (11,20)　　等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

考虑K=kG ，其中K、G为椭圆曲线Ep(a,b)上的点，n为G的阶（nG=O∞ ），k为小于n的整数。则给定k和G，根据加法法则，计算K很容易但反过来，给定K和G，求k就非常困难。因为实际使用中的ECC原则上把p取得相当大，n也相当大，要把n个解点逐一算出来列成上表是不可能的。这就是椭圆曲线加密算法的数学依据

点G称为基点（base point）

k（k<n）为私有密钥（privte key）

K为公开密钥（public key)

公钥加密：选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：C = {rG, M+rK}，其中K为公钥

私钥解密：M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M　　其中k、K分别为私钥、公钥。