图（网）的存储结构（数组存储表示即邻接矩阵、邻接表）

图（Graph）是一种非线性结构

图的特点（多对多），顶点之间的关系是任意的，图中任意两个顶点之间都可能相关，顶点的前驱和后继个数无限制。

图：数据元素间存在多对多关系的数据结构，加上一组基本操作构成的抽象数据类型。

图的基本术语

 

顶点：图中的数据元素。

弧：若 <v, w>∈VR，则 <v, w> 表示从 v 到 w 的一条弧，且称 v 为弧尾，称 w 为弧头，此时的图称为有向图。 

G1 = (V1, A1)          V1 = {v1, v2, v3, v4}

A1 = {< v1, v2>, < v1, v3>, < v3, v4>, < v4, v1>} 

边：若 <v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR，则以无序对 (v, w) 代表这两个有序对，表示 v 和 w 之间的一条边，此时的图称为无向图。 

G2 = (V2, E2)           V2 = {v1, v2, v3, v4, v5}

E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5) , (v3, v4), (v3, v5)} 

无向图中边的取值范围：0≤e≤n(n-1)/2。（用 n 表示图中顶点数目，用 e 表示边的数目。且不考虑顶点到其自身的边。）

完全图：有 n(n-1)/2 条边的无向图（即：每两个顶点之间都存在着一条边)称为完全图。

有向图中弧的取值范围：0≤e≤n(n-1)。（用 n 表示图中顶点数目，用 e 表示弧的数目。且不考虑顶点到其自身的弧。）

有向完全图：有 n (n - 1) 条弧的有向图（即：每两个顶点之间都存在着方向相反的两条弧）称为有向完全图。

稀疏图：含有很少条边或弧的图。

稠密图：含有很多条边或弧的接近完全图的图。

权：与图的边或弧相关的数，这些数可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。

网： 带权的图。

子图：如果图 G = (V, E) 和 G´= (V ´, E´)，满足：V ´包含于V 且 E´包含于 E，则称 G´为G 的子图。

   

邻接点：若 (v, v´) 是一条边，则称顶点 v 和 v´互为邻接点，或称 v 和 v´相邻接；称边 (v, v´) 依附于顶点 v和 v´，或称 (v, v´) 与顶点 v 和 v´ 相关联。若 <v, v´> 是一条弧，则称顶点 v 邻接到 v´，顶点v´邻接自顶点 v。并称弧 <v, v´> 与顶点 v 和 v´ 相关联。

度：无向图中顶点 v 的度是和 v相关联的边的数目，记为：TD(v)。

入度：有向图中以顶点 v 为头的弧的数目称为 v 的入度，记为：ID(v)。 

出度：有向图中以顶点 v 为尾的弧的数目称为 v 的出度，记为：OD(v)。

度：入度和出度之和，即：TD(v) = ID(v) + OD(v)。

如果顶点 vi 的度为 TD(vi)，则一个有 n 个顶点 e 条边（弧）的图，满足如下关系： 

路径：从顶点 v 到 v´ 的路径是一个顶点序列。对于有向图，路径也是有向的。 

路径长度：路径上边或弧的数目。

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。

简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 

连通：从顶点 v 到 v´ 有路径，则说 v  和 v´ 是连通的。

连通图：图中任意两个顶点都是连通的。

连通分量：无向图的极大连通子图（该子图是 连通子图，G中再加一个顶点就不连通，再减一条边就不极大）；任何连通图的连通分量只有一个，即其本身；非连通图有多个连通分量（非连通图的每一个连通部分）。

强连通图： 任意两个顶点都连通的有向图。

强连通分量：有向图的极大强连通子图（该子图是强连通子图，图中再加一个顶点就不连通，再减一条边就不极大）；任何强连通图的强连通分量只有一个，即其本身；非强连通图有多个强连通分量。

连通图的生成树：包含无向图G 所有顶点的的极小连通子图（该子图是G 的连通子图，在该子图中删除任何一条边，子图不再连通；加入一条边，则子图一定有环。 ）一个图可以有许多棵不同的生成树。

所有生成树具有以下共同特点： 

 

1、生成树的顶点个数与图的顶点个数相同；

 

2、生成树是图的极小连通子图；

3、一个有 n 个顶点的连通图的生成树有 n-1 条边；

4、生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的；

5、在生成树中再加一条边必然形成回路。

6、含 n 个顶点 n-1 条边的图不一定是生成树。

（无向图） 生成森林：由若干棵生成树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的生成树的边。     

有向树：如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 0 ，其余顶点的入度均为 1 ，则是一棵有向树。

有向图的生成森林：由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

图的存储结构

图的存储结构要保存两类信息： 

1)顶点的数据

2)顶点间的关系

顺序存储：任意两顶点都可能有联系，不能用元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系。

多重链表：与树类似，浪费存储单元；操作不方便。

数组表示法（邻接矩阵表示法） 

一个有 n 个顶点的图，可用两个数组存储。其中一个一维数组存储数据元素（顶点）的信息，另一个二维数组（邻接矩阵）存储数据元素之间的关系（边或弧）的信息。

邻接矩阵：设 G = (V, VR) 是具有 n 个顶点的图，顶点的顺序依次为 {v1, v2, …, vn}，则 G  的邻接矩阵是具有如下性质的 n 阶方阵：

比如：

使用邻接矩阵存储

再比如

使用邻接矩阵

特点：

1、无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有 n 个顶点的无向图所需存储空间为 n(n-1)/2。

2、有 n 个顶点的有向图所需存储空间为n²，用于稀疏图时空间浪费严重。占用存储空间只与它的顶点数有关，与边数无关；适用于边稠密的图；

3、无向图中顶点 vi 的度 TD(vi) 是邻接矩阵中第 i 行 1 的个数。

4、有向图中：顶点 vi 的出度是邻接矩阵中第 i 行 1 的个数。 顶点 vi 的入度是邻接矩阵中第 i 列 1 的个数。

网的邻接矩阵可定义为：

使用邻接矩阵表示

代码如下：

//图的数组存储表示
#define INFINTY INT_MAX//最大值
#define MAX_VERTEX_NUM 20;//最大的顶点个数
typedef enum{
    //有向图
    destinationGraphic,
    //有向网
    destinationNet,
    //无向图
    unDestinationGraphic,
    //无向网
    unDestinationNet
} GraphKind;

typedef struct AreCell{
    //顶点的关系类型，对于无权图，用1或者0来表示相邻否，带权图（网）用权值或者无穷大表示相邻否
    int adj;
    //弧（边）相关信息的指针
    int *info;
} AreCell, AdjMartix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct{
    //顶点向量
    int vexs[MAX_VERTEX_NUM];
    //邻接矩阵
    AdjMartix arcs;
    //图的当前顶点数和弧边数
    int vexnum, arcnum;
    //图的种类标志
    GraphKind kind;
} MGraph;

邻接表（类似于树的孩子链表表示法） 

邻接点域，存放与 vi 邻接的顶点在表头数组中的位置。

链域，指示下一条边或弧。

表头结点之后的链表，表示的是该表头的结点代表的图的顶点的邻接的顶点，其中数据域的数字代表的是表头数组的下标，也就是顶点。

若无向图中有 n 个顶点、e 条边，则其邻接表需 n 个头结点和 2e 个表结点。适宜存储稀疏图。

无向图中顶点 vi 的度为第 i 个单链表中的结点数。

建立无向邻接表

思想：如何给存储结构赋值

1.建立顶点数组。读入各顶点数据vextex，将link域赋Null。

2.建立各顶点的邻接表。

    读入顶点对<i,j>,  生成两个节点，分别插入顶点j,i的邻接表的头部。直至处理完所有的边。

时间复杂度O（n+e）

 

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