一道 google曾出过的笔试题：编程实现对数学一元多项式的相加和相乘操作（1）

数学中一元n次多项式可表示成如下的形式：

 Pn(x)=p0+p1x+p2x^2+…+pnx^n     (最多有 n+1 项，n +1 个系数唯一确定她)     

　　(1)请设计一套接口用以表示和操作一元多项式

　　(2)根据上述设计实现一元n次多项式的加法运算

　　(3)根据上述设计实现一元n次多项式的乘法运算

 

分析： 

题目大概意思：

数学里常见的一元 n 次表达式，设计出加减乘除的函数（方法），同时提供对外接口，把内部实现封装起来，而 n 的大小没有指定。

 

问题的本质：

就是一系列的单个未知数 x，指数和系数数字p（i）,0 =< i <= n组成的长串的表达式，然后把长长的表达式进行数学运算，假发和乘法，那么立马想到，这里需要线性表这个数据结构，符号多项式的表示和操作是线性表处理的典型用例。 且有变量 N，那么自然会联系到范围问题。

 

解决思路：

对问题进行进一步分解，常用的线性表，无非就是链表和顺序表，又分静态和动态内存分配的。数学的一元多项式，用一个线性表 P 来表示：P = ( p0, p1, p2, …, pn )   

每一项，x的指数  隐含在其系数 p（i） 的下标i里。这样的话，只是存储系数就 ok了，未知数 x 的指数让系数下标标识。比较简单是用数组（静态顺序表存储），那么问题来了……

 

存储空间不够了怎么办?

显然，可以使用动态线性表，这样，伸缩自如！再也不担心不够存储了！继续分析，这样解决了空间大小的问题（有限范围内的内存），剩下的就是设计计算的算法，联想中学时代的算数，多项式并不是每一个项都必须写出来的，那么问题来了……

 

如果 p 里含有大量的0怎么办？

显然这样的存储结构也不太好，会大量浪费内存。比如 p=1 + 7x^12000，要用一个长度为 12001 的线性表来表示，表中仅有 两 个非零系数，会浪费大量存储空间。 不划算。需要改变策略，首先一个原则就是：系数=0不存储！那么自然是只存储非0系数，而指数就必须同时也要存储！否则无法标识指数。其实，日常生活里，也是这样的，一个数学或者物理化学的公式，表达式，系数为0的项，没人会把它写出来吧？！而且这样的多项式数序上叫稀疏多项式。

 

最终，确定使用链表来存储，因为，系数为0的项，经过计算，可能变为非0，相反非0的项经过计算，也可能变味0，必然要用到删除和插入算法，那么显然链表还是最佳的表示方法，效率比较高，不用大量移动元素，且可以动态增长。节省存储空间。

 

定义 ADT三要素：数据对象，数据关系，数据操作

PS:其实还是面向对象表达 ADT 比较好，当然 c 也完全 ok，个人 c++不是很融汇贯通，高级的语法和特性不敢乱用，免得班门弄斧，贻笑大方……不使用高级特性和复杂语法的话，cpp就索然无味，索性一直用 纯真的 c 来练习一些东西，因为这样更好的把重点放到算法和工程问题本身，而不是复杂庞大的 c++语言的枝端末节上，c++还是比 c 多了很多复杂繁琐的东西（这里又想到了一道奇葩的问题——如何用 c 实现面向对象？）

google 的这个问题充分暴露了本人c++功底不过关， c++求解实现的过程因为使用的是类模版，函数模版，继承，和输入输出等的运算符重载，导致程序代码较多，且出现了很多错误，考虑编码练习和算法设计，重点学习的是思想和方法，还是用c写，c++的巩固和加强完全可以放到其他闲散时间完成.

 

这个题的难点其实是最后一问！

因为既然是google的题，肯丢最后要考虑时间复杂度和优化问题。只有结果肯丢过不了关，这里先提供一个最直接的思路。也是比较费时间的。o（n*m）

//直接思考，多项式相乘，每一项一一顺次（考虑两个嵌套循环）的去做乘法，指数相加，系数相乘，保存到临时变量，又考虑到有多项，自然是数组保存了……

//这是正常的很直观的思路，可以依靠数组的下标去映射指数，把系数存到对应指数（下标）处，这里是累加的和。

然后再依靠一个循环，顺次去判断数组的内容，取出想要的系数和对应下标（就是指数），组成一个新项，那就ok了。
//最后的阶数必然是两式子最高阶之和，自然这个数组的长度=这个和+1

/************************************************************************/
// 头文件Polynomial.h
// 定义链表结构
/************************************************************************/
#ifndef POLYNOMIAL_H
#define POLYNOMIAL_H
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <float.h>

//链表结构
typedef struct Node{
    struct Node *next;
    double coefficient;
    int exponent;
} Node, *Polynomial;

//链表初始化
void initList(Polynomial *L)
{
    //头结点
    if (NULL == *L)
    {
        *L = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
        (*L)->coefficient = 0.0;
        (*L)->exponent = -1;
        (*L)->next = NULL;
    }
    else
    {
        puts("表已经存在！");
    }
}

//判断指数同否
int compareExponent(Polynomial nodeA, Polynomial nodeB)
{
    int a = nodeA->exponent;
    int b = nodeB->exponent;

    if (a == b)
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        return a > b ? 1 : -1;
    }
}

//系数判断
bool isZeroByCoefficient(Polynomial node)
{
    if (node->coefficient >= -LDBL_EPSILON && node->coefficient <= LDBL_EPSILON)
    {
        return true;
    } 
    else
    {
        return false;
    }
}

//判断2
//系数判断
bool isZeroByDouble(double a)
{
    if (a >= -LDBL_EPSILON && a <= LDBL_EPSILON)
    {
        return true;
    } 
    else
    {
        return false;
    }
}

//尾插法建表
void creatListByTail(Polynomial *L, int n)
{
    //头结点
    if (NULL == *L)
    {
        *L = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
        (*L)->coefficient = 0.0;
        (*L)->exponent = -1;
        (*L)->next = NULL;
        Polynomial tail = NULL;
        Polynomial ptr = *L;
        //初始化？
        if (NULL == (*L)->next)
        {
            puts("请按照指数升幂，连续的输入项的系数（double）和指数（int）：（中间空格隔开）");
            //循环建表
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                tail = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
                tail->next = NULL;
                scanf("%lf %d", &tail->coefficient, &tail->exponent);

                while (getchar() != '\n')
                {
                    continue;
                }
                //链接
                ptr->next = tail;
                //移动指针
                ptr = ptr->next;
                //尾结点
            }
        }
        else
        {
            puts("表已经建立！");
        }
    }
    else
    {
        puts("表头已经存在！");
    }
}

//遍历
void traverseList(Polynomial L)
{
    Polynomial ptr = L->next;
    int i = 1;

    while (ptr != NULL)
    {

        printf("一元多项式的第%d项：%g X ^ %d\n", i, ptr->coefficient, ptr->exponent);
        i++;
        ptr = ptr->next;
    }
}

//求最高阶数
int getMaxExp(Polynomial L)
{
    Polynomial ptr = L;

    while (ptr->next != NULL)
    {
        ptr = ptr->next;
    }

    return ptr->exponent;
}

//删除结点,删除L中ptr指向的结点
void deleteNode(Polynomial L, Polynomial ptr)
{
    Polynomial p = L;

    while (p->next != ptr)
    {
        p = p->next;
    }

    ptr = p->next;
    p->next->next = ptr->next;
    free(ptr);
    ptr = NULL;
}

//多项式相加，本质是链表的归并算法
//可以另外开辟空间，也可以使用已存在的空间存储，这里使用后者的算法
void addPolynomial(Polynomial LA, Polynomial LB)
{
    //不再开辟内存
    Polynomial a = LA->next;
    Polynomial b = LB->next;
    Polynomial LC = LB;
    Polynomial tail = LC;

    while (a != NULL && b != NULL)
    {
        //判断指数的关系 a > b ? 1 : -1  else 0
        switch (compareExponent(a, b))
        {
        case 1:
            tail->next = b;
            tail = tail->next;
            b = b->next;
            break;

        case -1:
            tail->next = a;
            tail = tail->next;
            a = a->next;
            break;

        default:
            double temp = a->coefficient + b->coefficient;
            // 0？
            if (isZeroByDouble(temp))
            {
                a = a->next;
                b = b->next;
                //删除
                deleteNode(LC, tail->next);
            }
            else
            {
                tail->next = b;
                tail = tail->next;
                b->coefficient = temp;
                a = a->next;
                b = b->next;
            }// end of if
        }// end of switch
    }//end of while
    //一表比完
    if (NULL == a)
    {
        tail->next = b;
    }
    else
    {
        tail->next = a;
    }// end of if

    free(LA);
    LA = NULL;
}

//多项式相乘
void mulPolynomial(Polynomial LA, Polynomial LB, Polynomial LC)
{
    Polynomial a = LA->next;
    Polynomial b = LB->next;
    Polynomial c = LC;
    Polynomial ptr = NULL;
    //两多项式的阶数
    int numA = getMaxExp(LA);
    int numB = getMaxExp(LB);
    //结果多项式的阶数
    int maxNum = numA + numB;
     //动态开辟数组空间
     double *receive = (double *)malloc((maxNum + 1) * sizeof(double));
     //为数组赋值
     for (int i = 0; i < maxNum + 1; i++)
     {
         //i相当于指数，数组值就是相应指数的系数
         receive[i] = 0.0;
     }
    //指数及数组下标
    int expByIndex = 0;
    //顺次扫描A
    while (a != NULL)
    {
        //A不空，顺次扫描B
        while (b != NULL)
        {
            //两项做乘法之后的指数和
            expByIndex = a->exponent + b->exponent;
            //系数之间做乘，结果保存到对应的指数下（下标），
            receive[expByIndex] += (a->coefficient) * (b->coefficient);
            b = b->next;
        }

        b = LB->next;
        a = a->next;
    }// end of while
    //数组保存的是全部项，两两分别乘法之后的结果，保存在对应的下标（数组位置）
    for (int i = 0; i < maxNum + 1; i++)
    {
        // 0？
        if (isZeroByDouble(receive[i]))
        {
            //not do sth
        }
        else
        {
            //生成结点
            ptr = (Polynomial)malloc(sizeof(Node));
            //接到 LC 表
            c->next = ptr;
            c = c->next;
            //赋值
            c->coefficient =receive[i];
            c->exponent = i;
        }// end of if
    }// end of for

    c->next = NULL;
}

//链表销毁
void destroyList(Polynomial *L)
{
    Polynomial ptr = NULL;

    while (*L != NULL)
    {
        ptr = (*L)->next;
        free(*L);
        *L = ptr;
    }
    //
    *L = NULL;
    puts("销毁完毕");
}
#endif

注意：

1、

//数组维数在c99之前必须是常量，c99之后可以是变长数组，但是很多编译器还不支持。

//double receive[maxNum + 1] = {0};目前来说error!

2、

最后销毁的时候销毁B就行了，因为把A插到B，B就是C，C就是B，A只剩下头结点，在相加函数里，早已经被删除！如果还销毁B，铁定报错！重复析构。

3、

多项式相乘（其实就是两个链表的合并问题），这里有两个方法比较常见:

最简单也是最费时间（时间复杂度 o（n*m）最高的实现方法）的直接相乘法: 

其实很简单，把表 A 的每一项系数分别和表 B 的每一项系数做乘法，同时，把他们的指数相加，存储到临时数组里，这样得到 N（A）x N（B）个新的项，按照指数相同的，把他们的系数相加组合为一新的项，附带这个指数，输出，得结果。

比较经典的是分治法。

#include "Polynomial.h"

int main(void)
{
    puts("第一波计算加法：初始化表A,B");
    Polynomial LA = NULL;
    Polynomial LB = NULL;

    puts("建表A");
    creatListByTail(&LA, 4);
    puts("打印A");
    traverseList(LA);
    puts("建立表B");
    creatListByTail(&LB, 3);
    puts("打印表B");
    traverseList(LB);
    //相加
    puts("表A,B相加");
    addPolynomial(LA, LB);
    puts("打印和");
    traverseList(LB);
    //销毁B即可
    puts("销毁表A,B");
    destroyList(&LB);

puts("第二波计算乘法：初始化表A，B，C");
    Polynomial LAX = NULL;
    Polynomial LBX = NULL;
    Polynomial LCX = NULL;
    initList(&LCX);

    puts("建表A,B");
    creatListByTail(&LAX, 4);
    puts("打印表A");
    traverseList(LAX);
    puts("建立表B");
    creatListByTail(&LBX, 3);
    puts("打印表B");
    traverseList(LBX);
    //相乘
    puts("表A,B做乘法");
    mulPolynomial(LAX, LBX, LCX);
    puts("打印结果");
    traverseList(LCX);
    //销毁
    puts("销毁表ABC");
    destroyList(&LAX);
    destroyList(&LBX);
    destroyList(&LCX);

    system("pause");
    return 0;
}

 

还有一种改进的快速的傅里叶变换算法实现（未完待续）

 

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