POJ - 2184 Cow Exhibition 题解

题目大意

有 \(N(N \le 100)\) 头奶牛，没有头奶牛有两个属性 \(s_i\) 和 \(f_i\)，两个范围均为 \([-1000, 1000]\)。
从中挑选若干头牛，\(TS = \sum s[choose], TF = \sum f[choose]\)。
求在保证 \(TS\) 和 \(TF\) 均为非负数的前提下，\(TS+TF\)最大值。

样例

有 5 头牛，下面分别是每头牛的两个属性
5
-5 7
8 -6
6 -3
2 1
-8 -5
选择第 1、3、4 三头牛为最优解
虽然加上 2 号，总和会更大，但是 TF 会变成负数，不合法

分析

• 首先从问题入手，先搞特殊情况：如果两个属性均为负数，果断舍弃，因为它一直在做负贡献
• 一个物品有两个属性，会很自然想到二维费用背包，每个物品的价值为两个属性的和，也就是两种费用的和，这样定义其实意义并不大，而且时间复杂度为 \(O(N*S*F)\)，最大会到 \(10^8\)，应该会超时。
• 由于价值直接是两者的和，所以我们没必要单独构造一个价值，而是把其中的一维改成价值即可，即用 \(S_i\) 当作费用，\(F_i\) 当作价值，最后扫一遍求最大和就可以了
• 另外一个棘手的问题就是负数的问题：
  • 对于价值来说，正负都不影响，直接正常跑背包求最大值即可
  • 当费用为非负数时，没什么影响，正常跑 01 背包求最值，背包容积倒叙处理即可，\(f[j] = max \{f[j], f[j-s_i]+f_i\}\)。
  • 当费用为负数时，如果直接用上述的式子，\(j-S_i > j\)，而背包容积倒叙的话，\(f[j-s_i]\) 会先于 \(f[j]\) 被计算。如果直接这样写，会变成完全背包的样子，不妥。因此只需要把容积改成正序循环即可。
  • 由于下标不能为负数，我们可以将 \(0\) 点改成 \(100*1000\)，这样的话，即使所有物品的费用都为负数，下标也依旧处在合法的范围内。此时背包的容积也就相应变成了 \([0~200000]\)。
  • 注意跑背包的时候的边界即可
  • 最后统计时，当费用不小于 \(100000\) 时才表示 \(TS\) 的和为非负数，找到所有价值为非负数的那些，最后求两者和的最大值即可。

部分代码

心情好的时候再加