转贴：征婚选择的最佳策略
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结论：对于n个依次来临的机会，首先了解一下[n/e]个，然后将后面遇到的与前面所有见到的相比，如果更好就接受，否则等下一个，这是对待这类问题的最佳策略。这里e=2.71828…，[n/e]是n/e的整数部分。
假如有n个美女逐个介绍与你约会，每个见面时，如果你选了她就没机会见到后面可能更好的；如果让她走了，也许后面都不如她，追悔莫及也无法挽回。问怎么选结果最好？
在生活中也有类似的情况。比如说相亲谈朋友，选项目，选秀投票，或者有几个工作的机会。现实的情况都不容你脚踩几条船来比较，只能是一个个的来，错过就不好回头了。这都和上面的例子面临着相同的问题。这问题看起来漫无头绪，对于任何一种策略，都可以举出一个具体的出场顺序，使得你得到最差的后果。
实践中人们多是这样做的：直接选第一个那叫盲目没有比较，除了一见钟情的外，总得看过k个才甘心，待到后面候选人不多时就急了，只要比前面都见过的好，就是她了，要是全不满意到了最后一个，好坏都是她了。机会和美女都是随机出现的，那就问你到底要Pass几个炮灰才开始认真比较？这是n个随机序列中求k值，使得选到美女数学期望最高的问题。这个期望是选到了k以后第一个好过前面所有的那美女，或不得不接受最后那个，对这两种情况的数学期望值。
这个问题我考虑过，虽然思路不难，但随着n的数目增加，计算的复杂性增加的很快。前几天在科学网上看到“谈恋爱的技巧也能用数学模型表达？兼谈管理科学研究”博文里面转载了一个数学计算，其思路让我赞叹，虽然他把问题简化成选中最好那一个的概率问题，而不是得到最高的期望值问题。但他的结果十分地简洁和普遍，计算的结果和我计算的几个情况也吻合。这是个很漂亮的结果也很有应用价值，可惜博文没有给出原文的出处。珠玉在前，我本不想再现丑了，就在那博文后跟了几句赞词和替他解答。后来有网友来追问，又见许多跟帖对那研究的意义颇有微词，我想还是写个帖子解释一下。
那博文中转载那篇文章的思路和表达都十分简洁，后面的两个结论都显示出作者灵活应用数学的功力。我对此十分赞赏。跟贴中对那文章的批评多集中在复杂现实中的适用性问题。那是另一方面的诉求。
读论文和好文章，我更倾向于理解和欣赏作者的巧思而不是挑剔戏剧性说法的疵瑕。其实借用一些理想情况夸张性的应用在阐述理论的论文并不少见。2012年诺贝尔经济奖的核心Gale-Shapley算法，就是以稳定婚姻设计的求偶规则为题的【1】。当然婚姻实践要比算法的假设条件复杂的多也难以应用。科技工作者对抽象数学模型的局限和应用应该是个常识，所以用不着将注意力集中在这方面的说法而忽略了对核心思想的欣赏。
在这里我也替作者解答一下跟帖对式子中的k/(i-1)/n项的疑问。作者假定在这n个人中有一个最佳的人选A，随机时A在任何一个位置的概率都是1/n，自然A出现在第i个位置的概率也是这个数。为了保证A有机会被选上，前面i-1个人中最好的那个B必须在前k个人中，不然B入选了就轮不到A了，这个情况的概率是k/(i-1)。把这两者概率综合起来，就是从第k+1个开始比较，刚好在第i个时选中A的概率k/(i-1)/n。P(k)是把所有可能i的概率都加起来。再后面就是n充分大时的逼近公式。整个思路和推导十分漂亮。
这个数学模型是针对选中这n个人中A的最大概率问题。更靠近现实的提法是看过前面k个以后，被选中的人不一定是A但是美女的期望值E（k）最高。这个问题复杂点，我想用比较简单的4个美女的例子来直观地说明思路。
将这4个美女从1到4打分，四位1，2，3，4分的美女按随机顺序出场，闭着眼睛选一个，平均是2.5分。你的期望是在2，3分美女之间。E（0）=2.5.
如果Pass第一个，后面出场的再和她比较，更好的就是她，否则等下一个，第一个出来的有四种情况：
她是1分美女，后面哪个出来都比她强，自然第二位出来就迷倒了，这第二位2，3，4都有可能，平均是3分；
她是2分美女，后面3，4分的出来比她强，谁先到就是谁，3，4平均是3.5分；
她是3分美女，后面还有个4分美女，跑不了4分；
她是4分美女，这再往后看的都失望，只能是最后一个了。1，2，3都有可能，平均2分。
这四种情况机会都是一样的，所以把这四种平均得分再平均，总的期望是（3+3.5+4+2）/4=3.1。这美女指数比盲选高了一点，可以期望3分美女强一点。E（1）=3.1.
再看Pass两个又如何，Pass的是1分和2分，记为（1，2），后面剩下3分和4分，记为【3，4】，这一共有6种情况：
（1，2）【3，4】，同上面的道理分析，平均等分3.5；
（1，3）【2，4】，会等到4；
（2，3）【1，4】，会等到4；
（1，4）【2，3】，捡了最后一个，平均为2.5；
（2，4）【1，3】，捡了最后一个，平均为2；
（3，4）【1，2】，捡了最后一个，平均为1.5；
这六种情况机会均等，总的期望是（3.5+4+4+2.5+2+1.5）/6=2.9，比盲选的强比Pass第一个的差。E（2）=2.9.
Pass 3个剩下只有一个，这和盲选一个样，2.5。E（3）=2.5.
综合这几种情况E（1）=3.1最大。所以在只有四位美女情况，拿第一个当炮灰，从第二个开始比较最明智，可以期望3.1分的美人，比平均分2.5高。可以看出总数多时，先Pass的人数也可以多一点，这期望美女指数E（k）随着炮灰人数k先增加，然后再减少。
n位美女可以用相同的思路，用排列组合计算数学期望值可以得出一般的式子E（k）。这个一般公式约减的工作量会大一点。我没有完成最优k值的计算公式。但是应该不难用计算机逐个计算E（k）后比较来取的。
我在纸上算出n为2、3、4时，最优的k分别是0、1、1。这个结果和 [n/e]的数值是一样的。虽然求最大概率和求最大数学期望不是同一个问题，而且后者还和赋值有关。但是前者是一个很好的简化模型有着很简洁的结果。
结论：对于n个依次来临的机会，首先了解一下[n/e]个，然后将后面遇到的与前面所有见到的相比，如果更好就接受，否则等下一个，这是对待这类问题的最佳策略。这里e=2.71828…，[n/e]是n/e的整数部分。
【参考文献】
【1】 D. Gale and L. S. Shapley: "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly 69, 9-14, 1962 http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/Ec100C/galeshapley.pdf
【2】 谈恋爱的技巧也能用数学模型表达？兼谈管理科学研究
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=200071&do=blog&id=643493#quickcommentform_643493
posted on 2012-12-20 15:15 时空地图-TimeGIS-com 阅读(423) 评论(0) 编辑 收藏 举报
