雅礼学习10.4
雅礼学习10.4
上午考试
各题状况
T1
莫名其妙20分了。
考场上一眼秒掉了这个题目：这不就是个并查集捆绑+快速幂么
然后开开心心这个点如果有这个质因子的话\(fa\)就指向这个质因子，而每个数字有多个质因子。。。
多个质因子在相互指\(fa\)的时候指乱套了。。。。
对拍的时候看出来的，然后用\(1\)个多小时来调这份代码，最后自己都不知道这东西在干嘛了，就凉了。
T2
写了个暴力枚举，期望\(20\)实际\(20\)
T3
看到成绩之后：这题怎么会爆\(long long\)的？？？
然后讲题的时候。。。出题人说第二个部分分里面\(a_i\)的取值范围给错了，少了三个零。。。
凉凉，\(30\)挂没了
题目及考场代码
T1
#include <cstdio>
#include <cstring>
inline int read()
{
int n=0,w=1;register char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0' && c<='9')n=n*10+c-'0',c=getchar();
return n*w;
}
const int N=1e5+1,mod=1e9+7;
int n,tot,a[N],prime[N],head[N*10];
bool notprime[N],vis[N];
struct Edge{
int v,nxt;
}edge[N<<1];
inline void add(int u,int v)
{edge[++tot]=(Edge){v,head[u]};head[u]=tot;}
inline void Get_prime()
{
for(int i=2;i<N;++i)
{
if(!notprime[i])
prime[++tot]=i;
for(int j=1;i*prime[j]<=N && j<=tot;++j)
{
notprime[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j] == 0)
break;
}
}
}
inline void work(int now)
{
int x=1e5,id=now;
now=a[now];
while(now^1)
{
++x;
if(now%prime[(int)(x-1e5)]==0)
{
while(now%prime[x]==0)
now/=x;
add(id,x);
}
}
}
void dfs(int now)
{
vis[now]=true;
for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
dfs(edge[i].v);
}
inline int ksm(long long x,int b)
{
long long res=1;
for(;b;b>>=1,x=x*x%mod)
if(b&1)
res=res*x%mod;
return res;
}
int main()
{
freopen("x.in","r",stdin);
freopen("x.out","w",stdout);
int t=read();
Get_prime();
tot=0;
while(t--)
{
memset(vis,false,sizeof vis);
memset(head,0,sizeof head);
tot=0;
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=read();
work(i);
}
tot=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!vis[i])
{
++tot;
dfs(i);
}
printf("%d\n",(ksm(2,tot)-2+mod)%mod);
}
fclose(stdin),fclose(stdout);
return 0;
}
T2
/*
* 这啥题啊。。。
* ao原来d是长度啊。。。。
*
* 那不是。。。暴力就很好写了
* string+map水一发
*/
#include <string>
#include <cstdio>
#include <map>
inline int read()
{
int n=0,w=1;register char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')n=n*10+c-'0',c=getchar();
return n*w;
}
const int N=91;
int n,m,d,tot,ans,head[N];
std::string s;
std::map<std::string,int> mp;
struct Edge{
int v,w,nxt;
}edge[N*(N-1)*2];
inline void add(int u,int v,int w)
{edge[++tot]=(Edge){v,w,head[u]};head[u]=tot;}
void dfs(int now,int step)
{
if(step==d)
{
if(!mp[s])
mp[s]=++ans;
return ;
}
for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt)
{
s.push_back(edge[i].w+'0');
dfs(edge[i].v,step+1);
s.erase(s.end()-1);
}
}
int main()
{
freopen("y.in","r",stdin);
freopen("y.out","w",stdout);
n=read(),m=read(),d=read();
for(int u,v,w,i=1;i<=m;++i)
{
u=read(),v=read(),w=read();
add(u,v,w),add(v,u,w);
}
dfs(1,0);
printf("%d",ans);
fclose(stdin);fclose(stdout);
return 0;
}
T3
/*
* 我旁边的dalao用一小时切了这个题，然后到处说：哇T3好水我贪心能100啊
* 然后有人问他：你复杂度多少的
* 他：100啊
* 那人：？？？100是个什么复杂度啊，我问的是复杂度
* 他：aoao。。。我看看啊。。。 O(n*q)的
* 那人：。。。你再去看看数据范围
* 他：？？？
*
* 笑死我了hhhhh
* 写了个模拟
*/
#include <cstdio>
inline int read()
{
int n=0,w=1;register char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')n=n*10+c-'0',c=getchar();
return n*w;
}
const int N=1e5+1;
int n,q,x[N];
int main()
{
freopen("z.in","r",stdin);
freopen("z.out","w",stdout);
n=read(),q=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
x[i]=read();
int len,l,r,ans;
while(q--)
{
len=read();
ans=l=0,r=len;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(x[i]>r)
{
ans+=x[i]-r;
l+=x[i]-r;
r=x[i];
}
else
if(x[i]<l)
{
ans+=l-x[i];
r-=l-x[i];
l=x[i];
}
}
printf("%d\n",ans);
}
fclose(stdin);fclose(stdout);
return 0;
}
正解及代码
T1
对所有\(gcd\ne 1\)的两个数字连边，最后统计联通块数量（假设为\(cnt\)），那么答案为\(2^{cnt}-2\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10,maxa=1e6+10,mod=1e9+7;
int t,n,last[maxa],ans;
bool vis[maxn];
vector<int> g[maxn];
int pcnt,prime[maxa],minp[maxa];
bool prm[maxa];
inline void init(){
for(int i=2;i<maxa;++i){
if(!prm[i]){
prime[++pcnt]=i;
minp[i]=i;
}
for(int j=1;j<=pcnt&&i*prime[j]<maxa;++j){
prm[i*prime[j]]=true;
minp[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==0)
break;
}
}
}
void dfs(int pos){
vis[pos]=true;
for(int i=0;i<g[pos].size();++i)
if(!vis[g[pos][i]])
dfs(g[pos][i]);
}
int main(){
freopen("x.in","r",stdin);
freopen("x.out","w",stdout);
init();
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=pcnt;++i)
last[prime[i]]=0;
for(int i=1,x;i<=n;++i){
vis[i]=false;
g[i].clear();
scanf("%d",&x);
while(x>1){
int fac=minp[x];
while(x%fac==0)
x/=fac;
if(last[fac]){
g[i].push_back(last[fac]);
g[last[fac]].push_back(i);
}
last[fac]=i;
}
}
ans=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!vis[i])
ans=ans*2%mod,dfs(i);
printf("%d\n",(ans+mod-2)%mod);
}
return 0;
}
T2
\(f[i][j][mask]\)表示从\(i\)出发，到\(j\)结束，是否存在一条表示为\(mask\)的路径
但是显然这个复杂度不够优
考虑meet in the middle ，对于每种可能的路径，枚举中间的位置进行判断
\(O(2^{\frac{d}{2}}\times n\times (n+m))+2^d\times n\)
可以用\(bitset\)进行优化，能让整体除以\(64\)，由此可以解决\(N\)更大的问题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=90+10,maxmask=1<<20/2+1;
int n,m,d,d1,d2,ans;
bitset<maxn> g0[maxn],g1[maxn],dp[maxmask],f[maxmask];
int main(){
freopen("y.in","r",stdin);
freopen("y.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
for(int i=1,u,v,c;i<=m;++i){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
if(c)
g1[u][v]=g1[v][u]=true;
else
g0[u][v]=g0[v][u]=true;
}
d2=d/2;d1=d-d2;
for(int u=n;u;--u){
for(int i=0;i<maxmask;++i)
dp[i].reset();
dp[1][u]=true;
for(int x=1;x<1<<d1;++x)
for(int v=1;v<=n;++v)
if(dp[x][v]){
dp[x<<1]|=g0[v];
dp[x<<1|1]|=g1[v];
}
for(int x=0;x<1<<d1;++x)
f[x][u]=dp[1<<d1|x].any();
}
for(int i=0;i<1<<d1;++i)
for(int j=0;j<1<<d2;++j)
if((dp[1<<d2|j]&f[i]).any())
++ans;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
T3
如果存在一个\(x_i\)使得\(x_{i-1}=x_i\)或者\(x_{i-1}\lt x_i\lt x_{i+1}\)，那么可以删掉它（当完成上一个\(x\)的时候同时完成了这个任务）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
int n,m;
ll tot,ans[maxn];
vector<int> x;
vector<pair<int,int> > a;
map<int,int> mp;
inline ll calc(ll k){
if(!mp.empty()&&mp.begin()->second<0)
return tot-(mp.size()-1)*k;
else
return tot-mp.size()*k;
}
inline void solve(){
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;
int t=0;
for(int i=0;i<x.size();++i){
tot+=abs(x[i]);
mp[i]=x[i];
q.push(make_pair(abs(x[i]),i));
}
while(!q.empty()){
int id=q.top().second,tmp=q.top().first;q.pop();
map<int,int>::iterator p=mp.lower_bound(id);
if(p==mp.end()||p->first!=id||abs(p->second)!=tmp)
continue;
while(t<a.size()&&abs(p->second)>a[t].first)
ans[a[t].second]=calc(a[t].first),++t;
if(p!=mp.begin())
if(p!=prev(mp.end())){
tmp=p->second,tot-=abs(p->second);
tmp+=prev(p)->second,tot-=abs(prev(p)->second);
tmp+=next(p)->second,tot-=abs(next(p)->second);
mp.erase(prev(p));
mp.erase(next(p));
p->second=tmp,tot+=abs(tmp);
q.push(make_pair(abs(tmp),id));
}
else{
tot-=abs(p->second);
mp.erase(p);
}
else if(p->second>0)
if(p!=prev(mp.end())){
tmp=p->second,tot-=abs(p->second);
tmp+=next(p)->second,tot-=abs(next(p)->second);
mp.erase(next(p));
if(tmp){
p->second=tmp,tot+=abs(tmp);
q.push(make_pair(abs(tmp),id));
}
else
mp.erase(p);
}
else{
tot-=abs(p->second);
mp.erase(p);
}
}
while(t<a.size())
ans[a[t].second]=calc(a[t].first),++t;
}
int main(){
freopen("z.in","r",stdin);
freopen("z.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0,p,last=0;i<n;++i){
scanf("%d",&p);
if(p==last)
continue;
if(!x.empty()&&(x.back()<0&&p<last||x.back()>0&&p>last))
x.back()+=p-last;
else
x.push_back(p-last);
last=p;
}
for(int i=0,l;i<m;++i){
scanf("%d",&l);
a.push_back(make_pair(l,i));
}
sort(a.begin(),a.end());
solve();
for(int i=0;i<m;++i)
printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
下午讲课：图题
例一
一个\(n\)个点\(m\)条边的无向连通图从\(1\)号点开始\(bfs\)，可能得到的\(bfs\)序有很多，取决于出边的访问顺序。现在给出一个\(1\)到\(n\)的排列，判断是否可能是一个\(bfs\)序
\(n,m\le 2\times 10^5\)
解：
先假设给出的这个\(bfs\)序列是合法的，令每个节点的权值为在给定序列中的位置
然后从\(1\)号点开始进行\(bfs\)，出边的访问顺序按照权值从小到大访问
最后将这样跑\(bfs\)得到的\(bfs\)序跟给定的序列进行比较，如果完全一致，那么这个序列是合法的
例二
一个\(n\)个点\(m\)条边的无向连通图中每个点都有一个权值，现在要求给每条边定一个权值，满足每个点的权值等于所有相连的边权之和，权值可负。
解：
如果图是一棵树，那么方案就是唯一的，直接判就可以了。
否则随便搞一棵生成树，先不管其他边，跑一遍。
这时根节点可能还不满足条件。
这时考虑其他的边，一条非树边会形成一个环。
如果是一个偶环，那么无论这条非树边怎么变，都不会对根节点产生影响。
而如果是奇环，那么若给这条非树边增加或减少权值，根节点会发生2 的权值变
化。
那么就可以了。
例三
给定一个\(n\)个点\(m\)条边的有向带权图，对于一条边权为\(w\)的边，经过时将获得\(w\)的收益，之后\(w=\lfloor \frac{w}{2}\rfloor\)
问从\(1\)号点出发最多能获得多少收益
解：
一个强连通分量内部所有的边肯定可以被走到底。
所以缩点后\(dp\)即可
例四
有\(m\)个人，\(n\)张椅子，第\(i\)个人只能坐在第\(u_i\)或第\(v_i\)张椅子上。求有多少种方案满足没有人坐在同一张椅子上。
解：
把椅子当做点，人当做边，变成一个图。
每个连通块可以分开考虑。
假设某个连通块中有\(v\)个点，\(e\)条边，由于连通，有\(v−1\le e\)，并且若\(e\gt v\)则无解，所以\(e\)只有\(v−1\)和\(v\)两种取值。
假如\(e=v−1\)，那么该连通块有\(v\)种方案：考虑枚举每个点不放的情况，其他的点都可以唯一确定。
假如\(e=v\)且环长\(\gt 1\)，那么该连通块有\(2\)种方案：考虑环上的一条边，这条边的放法确定后其他的都可以唯一确定。
例五
给定一个\(v\)个点\(e\)条边的带权无向图，在图上有\(n\)个人，第\(i\)个人位于点\(x_i\)，一个人通过一条边需要花费这条边的边权的时间。现在每个人可以自由地走。求最短多少时间后满足结束后有人的节点数\(\ge m\)
\(n,v\le 500\)
解：
先\(floyd\)预处理出两两之间的距离。
然后可以二分答案。二分答案之后，每个人向能走到的点连边。
可以发现合法的条件就是最大匹配数\(\ge m\)。
跑二分图匹配就可以了。
