数据结构-平衡二叉树的基本旋转
1、AVL树(平衡二叉树)的定义
平衡二叉树 全称叫做 平衡二叉搜索(排序)树
,简称 AVL树。英文:Balanced Binary Tree (BBT),注:二叉查找树(BST)
AVL 什么意思 ?
AVL 是大学教授 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 名称的缩写,他们提出的平衡二叉树的概念,为了纪念他们,将 平衡二叉树 称为 AVL树。
AVL树本质上是一颗二叉查找树,但是它又具有以下特点:
- 它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,
- 左右两个子树 也都是一棵平衡二叉树。
在AVL树中,任何节点的两个子树的高度最大差别为 1
,所以它也被称为平衡二叉树 。
1.1、平衡因子(Balance Factor,简写为bf)
平衡因子(bf):结点的左子树的深度减去右子树的深度。
即: 结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度 。
在 AVL树中,所有节点的平衡因子都必须满足: -1<=bf<=1;
1.2、学习计算每个节点的高度和平衡因子
下图的二叉树,计算每个节点的高度和平衡因子。图示如下:
由 AVL树的定义可知,上面的两个图都不是 AVL树(平衡二叉树) 。
1.3、区分是否是平衡二叉树
下面是平衡二叉树和非平衡二叉树对比的例图:
2、AVL树的作用:
我们知道,对于一般的二叉搜索树(Binary Search Tree),其期望高度(即为一棵平衡树时)为log2n,其各操作的时间复杂度(O(log2n))同时也由此而决定。但是,在某些极端的情况下(如在插入的序列是有序的时),二叉搜索树将退化成近似链或链,此时,其操作的时间复杂度将退化成线性的,即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况,但是在进行了多次的操作之后,由于在删除时,我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身,这样就会造成总是右边的节点数目减少,以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏,提高它的操作的时间复杂度。
例如:我们按顺序将一组数据 1,2,3,4,5,6
分别插入到一颗空二叉查找树和AVL树中,插入的结果如下图:
由上图可知,同样的结点,由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下,会导致二叉树的高度是O(N),而AVL树就不会出现这种情况,树的高度始终是O(lgN).高度越小,对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。
3、AVL树的基本操作
AVL树的操作基本和二叉查找树一样,这里我们关注的是两个变化很大的操作:插入和删除!
我们知道,AVL树不仅是一颗二叉查找树,它还有其他的性质。如果我们按照一般的二叉查找树的插入方式可能会破坏AVL树的平衡性。同理,在删除的时候也有可能会破坏树的平衡性,所以我们要做一些特殊的处理,包括:单旋转和双旋转!
3.1、插入—— 左左型的右旋:
由上图可知:在插入之前树是一颗AVL树,而插入结点之后,T的左右子树高度差的绝对值不再 <= 1,此时AVL树的平衡性被破坏,我们要对其进行旋转。
在结点T的 左结点(L) 的 左子树(L) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 左左型 ,我们应该进行右旋转。
注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。
3.1.1、右旋的具体步骤:
- T向右旋转成为L的右结点
- L的右节点Y 放到 T的左孩子上
旋转中心是根节点T的左节点(L)。
这样即可得到一颗新的AVL树,旋转过程图如下:
3.1.2、右旋的动画演示:
![](https://img2022.cnblogs.com/blog/2502785/202210/2502785-20221007144943514-671566705.gif)
3.1.3、右旋示例:
示例1:
左左情况下,插入新数据1 时,进行右旋操作:
![](https://img2022.cnblogs.com/blog/2502785/202210/2502785-20221007145001519-548352600.png)
示例2:
插入 节点2后,进行右旋转:由上图可知,我们在T结点的左结点的右子树上插入一个元素时,会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 <= 1,如果只是进行简单的右旋,得到的树仍然是不平衡的。
在结点T的 左结点(L) 的 右子树(R) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 左右型 ,我们应该进行左右旋。
注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。
3.2.1、左右旋的两次旋转步骤:
第1次是左旋转:
- L节点 左旋转,成为R的左节点
- R的左节点(Y1) 左旋转,成为 L的右节点(即左子节点左转)
第2次是右旋转:
- T节点 右旋转,成为R的右节点
- R的右节点(Y2)右旋转,成为T的左节点(即右子节点右转)
旋转中心是根节点 T 的左节点(R)。
3.2.2、左右旋转的示例:
一定要先把上面的左左型、左右型的旋转搞明白了, 下面的右右型、右左型的旋转就容易理解了。
3.3、插入——右右型的左旋:
由上图可知:在插入之前树是一颗AVL树,而插入新结点之后,T的左右子树高度差的绝对值不再 <+ 1,此时AVL树的平衡性被破坏,我们要对其进行旋转。
在结点T的 右结点(R) 的 右子树(R) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 右右型 ,我们应该进行左旋转。
注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。
3.3.1、左旋的具体步骤:
- T向左旋转成为R的左结点
- R的左节点Y放到T的右孩子上
旋转中心是根节点T的右节点(R)。
这样即可得到一颗新的AVL树,旋转过程图如下:
3.3.2、动画演示:
3.3.3、左旋举例:
示例1:
右右情况下,插入新数据时,左旋操作:
示例2:
3.4、插入——右左型的右左旋:
由上图可知,我们在T结点的右结点的左子树上插入一个元素时,会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,如果只是进行简单的左旋,得到的树仍然是不平衡的。
在结点T的 右结点(R) 的 左子树(L) 上做了插入元素的操作,我们称这种情况为 右左型 ,我们应该进行右左旋。
注: T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。
3.4.1、右左旋的两次旋转步骤:
第1次是右旋转:
- R 节点 右旋转,成为L的右节点
- L的右节点(Y2) 右旋转,成为R的左节点(即右子节点右转)
第2次是左旋转:
- T 节点 左旋转,成为L的左节点
- L的左节点(Y1)左旋转,成为T的右节点 (即左子节点左转)
旋转中心是根节点 T 的右节点(L)。
3.4.2、右左旋的的示例
4、总结:
在插入的过程中,会出现一下四种情况破坏AVL树的特性,我们可以采取如下相应的旋转。
插入位置 | 状态 | 操作 |
---|---|---|
在结点T的左结点(L)的 左子树(L) 上做了插入元素 | 左左型 | 右旋 |
在结点T的左结点(L)的 右子树(R) 上做了插入元素 | 左右型 | 左右旋 |
在结点T的右结点(R)的 右子树(R) 上做了插入元素 | 右右型 | 左旋 |
在结点T的右结点(R)的 左子树(L) 上做了插入元素 | 右左型 | 右左旋 |
注意:
T 表示 平衡因子(bf)大于1的节点。
下面来个图示:
ending