哈夫曼树基础知识

哈夫曼树相关的几个名词

路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。图 1 中，从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。

路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。例如在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图 1 中从根结点到结点 c 的路径长度为 3。

结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。例如，图 1 中结点 a 的权为 7，结点 b 的权为 5。

结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例如，图 1 中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 = 10 。

树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。例如图 1 中所示的这颗树的带权路径长度为：

WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3

图1 哈夫曼树

什么是哈夫曼树

当用 n 个结点（都做叶子结点且都有各自的权值）试图构建一棵树时，如果构建的这棵树的带权路径长度最小，称这棵树为“最优二叉树”，有时也叫“赫夫曼树”或者“哈夫曼树”。

在构建哈弗曼树时，要使树的带权路径长度最小，只需要遵循一个原则，那就是：权重越大的结点离树根越近。在图 1 中，因为结点 a 的权值最大，所以理应直接作为根结点的孩子结点。

 

设二叉树具有n个带权值的叶子结点，从根结点到各个叶子结点的路径长度与相应叶子结点权值的乘积之和。记为

在这些由不同的路径组成的树中，带权路径长度最小的二叉树，称之为哈夫曼树，也称作最优二叉树。

哈夫曼树的特点
权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点（构造的核心思想）
n个叶结点的哈夫曼树的结点总数为2n-1个
哈夫曼树不唯一，但WPL唯一

构建哈夫曼树的过程

对于给定的有各自权值的 n 个结点，构建哈夫曼树有一个行之有效的办法：

1. 在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和；
2. 在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中，以此类推；
3. 重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树。

步骤
由给定的n个权值{w1，w2，…，wn}构造n棵只有一个根结点、左右子树均空的二叉树，从而得到一个二叉树集合F＝{T1，T2，…，Tn}
在F中选取根结点的权值最小的两棵二叉树分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树，这棵新二叉树的根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和
在F中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建立的二叉树加入到F中
重复⑵、⑶两步，当集合F中只剩下一棵二叉树时，这棵二叉树便是哈夫曼树
 

哈弗曼树中结点结构

构建哈夫曼树时，首先需要确定树中结点的构成。由于哈夫曼树的构建是从叶子结点开始，不断地构建新的父结点，直至树根，所以结点中应包含指向父结点的指针。但是在使用哈夫曼树时是从树根开始，根据需求遍历树中的结点，因此每个结点需要有指向其左孩子和右孩子的指针。

所以，哈夫曼树中结点构成用代码表示为：

1. //哈夫曼树结点结构
2. typedef struct {
3. int weight;//结点权重
4. int parent, left, right;//父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
5. }HTNode, *HuffmanTree;

构建哈弗曼树的算法实现

构建哈夫曼树时，需要每次根据各个结点的权重值，筛选出其中值最小的两个结点，然后构建二叉树。

查找权重值最小的两个结点的思想是：从树组起始位置开始，首先找到两个无父结点的结点（说明还未使用其构建成树），然后和后续无父结点的结点依次做比较，有两种情况需要考虑：

• 如果比两个结点中较小的那个还小，就保留这个结点，删除原来较大的结点；
• 如果介于两个结点权重值之间，替换原来较大的结点；