OI 中的矩阵

• 矩阵加速递推
• 广义矩阵乘法

基本概念及其运算

定义

由 $n\times m$ 个 $a_{i,j}$ 排成的 $n$ 行 $m$ 列的表称为 $n$ 行 $m$ 列的矩阵，简称 $n\times m$ 矩阵，记作：

$$A_{n\times m}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{n,1}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{n,2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right]$$

若 $n=m$，则称 $A$ 为方阵。

方阵

$$E_{n\times n}=E_n=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right]$$

称为 $n$ 阶单位矩阵，简称单位矩阵，其主对角线上的元素为 $1$，其余为 $0$。

矩阵

$$O_{n\times m}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$$

称为零矩阵，其元素全为 $0$。

加法

$$\begin{gathered} A_{n\times m}+B_{n\times m}=C_{n\times m} \\ {c}_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j} \end{gathered}$$

数乘

$$\begin{gathered} A_{n\times m}\cdot x=B_{n\times m} \\ {b}_{i,j}=a_{i,j}\cdot x \end{gathered}$$

乘法

$$\begin{gathered} A_{n\times m}\cdot B_{m\times p}=C_{n\times p} \\ {c}_{i,j}=\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}\cdot b_{k,j} \end{gathered}$$

幂

$$A^0=E,A_{m\times m}^n=A^{n-1}A,n\in [1,+\mathrm{\infty })\cap \mathbb{Z}$$

理解

加法

加法即为对应位置数做加法。

$A$ 的行数 $=$ $B$ 的行数，$A$ 的列数 $=$ $B$ 的列数才能做加法。

矩阵加法有以下性质：

• 交换律：$A+B=B+A$
• 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
• 单位元：$A+O=A$。零矩阵在矩阵加法中充当单位元。

数乘

数乘即对矩阵的所有数乘以一个数。

矩阵数乘有以下性质：

• 交换律：$A\cdot x=x\cdot A$

乘法

$$\begin{gathered} A_{n\times m}\cdot B_{m\times p}=C_{n\times p} \\ {c}_{i,j}=\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}\cdot b_{k,j} \end{gathered}$$

$A$ 的列数 $=$ $B$ 的行数才能相乘。

代码实现时间复杂度为 $O(n\cdot m\cdot p)$

$C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $A$ 的第 $i$ 行横着的的 $m$ 个数对应 $B$ 的第 $j$ 列竖着的 $m$ 个数 相乘再相加：

$$\begin{gathered} A_{n\times m}=\left[\begin{array}{cccc}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,m}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right] \\ {B}_{m\times p}=\left[\begin{array}{ccc}\cdots & b_{1,j}& \cdots \\ \cdots & b_{2,j}& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & b_{m,j}& \cdots \end{array}\right] \\ {C}_{m\times p}=A_{n\times m}\cdot B_{m\times p}=\left[\begin{array}{ccc}\cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & c_{i,j}& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right] \end{gathered}$$

$$c_{i,j}=a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+\cdots +a_{i,m}{b}_{m,j}$$

$A$ 的每一行和 $B$ 的每一列生成一个 $c_{i,j}$，所以 $C$ 的有 $A$ 的行数 行，有 $B$ 的列数 列，即 $C$ 有 $n$ 行 $p$ 列。

性质

矩阵乘法有以下性质：

• 无交换律。

• 结合律：$(A_{n,m}\cdot B_{m,p})\cdot C_{p,q}=A_{n,m}\cdot (B_{m,p}\cdot C_{p,q})$

  证明：
  设 $W_{n,p}=A_{n,m}\cdot B_{m,p},X_{n,q}=(A_{n,m}\cdot B_{m,p})\cdot C_{p,q},Y_{m,q}=B_{m,p}\cdot C_{p,q},Z_{n,q}=A_{n,m}\cdot (B_{m,p}\cdot C_{p,q})$

  $w_{i,j}=\sum _{k_1}^m{a}_{i,k_1}{b}_{k_1,j}$

  $x_{i,j}=\sum _{k_2}^p{w}_{i,k_2}{c}_{k_2,j}=\sum _{k_2}^p(\sum _{k_1}^m{a}_{i,k_1}{b}_{k_1,k_2})c_{k_2,j}=\sum _{k_1}^m\sum _{k_2}^p{a}_{i,k_1}{b}_{k_1,k_2}{c}_{k_2,j}$

  $y_{i,j}=\sum _{k_2}^p{b}_{i,k_2}{c}_{k_2,j}$

  $z_{i,j}=\sum _{k-1}^m{a}_{i,k_1}{y}_{k_2,j}=\sum _{k_1}^m{a}_{i,k_1}(\sum _{k_2}^p{b}_{k_1,k_2}{c}_{k_2,j})=\sum _{k_1}^m\sum _{k_2}^p{a}_{i,k_1}{b}_{k_1,k_2}{c}_{k_2,j}$

  则 $x_{i,j}=z_{i,j}$，原命题得证。

• 与加法的左分配律：$(A_{n,m}+B_{n,m})\cdot C_{m,p}=A_{n,m}\cdot C_{m,p}+B_{n,m}\cdot C_{m,p}$

  证明：

  $\begin{array}{rl}LH{S}_{i,j}& =\sum _k^m(a_{i,k}+b_{i,k})\cdot c_{k,j}\\ & =\sum _k^m{a}_{i,k}\cdot c_{k,j}+b_{i,k}\cdot c_{k,j}\\ & =\sum _k^m{a}_{i,k}\cdot c_{k,j}+\sum _k^m{b}_{i,k}\cdot c_{k,j}\\ & =RH{S}_{i,j}\end{array}$

• 与加法的右分配律：$C_{n,m}\cdot (A_{m,p}+B_{m,p})=C_{n,m}\cdot A_{m,p}+C_{n,m}\cdot B_{m,p}$

  证明：

  $\begin{array}{rl}LH{S}_{i,j}& =\sum _{k=1}^m{c}_{i,k}\cdot (a_{k,j}+b_{k,j})\\ & =\sum _{k=1}^m{c}_{i,k}\cdot a_{k,j}+c_{i,k}\cdot b_{k,j}\\ & =\sum _{k=1}^m{c}_{i,k}\cdot a_{k,j}+\sum _{k=1}^m{c}_{i,k}\cdot b_{k,j}\\ & =RH{S}_{i,j}\end{array}$

• 单位元：$A_{n,m}\cdot E_{m,m}=E_{n,n}\cdot A_{n,m}=A_{n,m}$。$E$ 在矩阵乘法中充当单位元。

用途

当用一个 $1$ 行 $n$ 列的矩阵 $A_{1\times n}$ 乘一个 $n$ 行 $n$ 的方阵 $B_n$ 会得到一个 $1$ 行 $n$ 列的矩阵 $C_{1\times n}$

$C_{1,i}$ 的值由 $A$ 的所有值和 $B$ 的第 $i$ 行的值确定。$B$ 像是 $n$ 个 $R^n\to R$ 的函数，$\times B$ 像是对 $A$ 的 $n$ 个数进行一次递推。

例如：

$\text{Fibonacci}$ 数列：$f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1=f_2=1$

$A=\left[\begin{array}{cc}{f}_i& f_{i-1}\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$A\cdot B=\left[\begin{array}{cc}1\cdot f_i+1\cdot f_{i-1}& 1\cdot f_i+0\cdot f_{i-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{i+1}& f_i\end{array}\right]$

进行了一次递推！

$A\cdot B\cdot B=\left[\begin{array}{cc}{f}_{i+1}& f_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\cdot f_{i+1}+1\cdot f_i& 1\cdot f_{i+1}+0\cdot f_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{i+2}& f_{i+1}\end{array}\right]$

进行了两次递推！

根据矩阵乘法的结合律，$A\cdot B\cdot B=A\cdot B^2$。所以可以配合快速幂在 $O(2^3\log n)$ 的时间复杂度内求出 $f_n$

$A$ 相当于状态，$B$ 相当于状态之间的递推关系，$\times B^n$ 相当于进行了 $n$ 次递推，递推关系类似于 $a_i=b_1\cdot a_1+b_2\cdot a_2+b_2\cdot a_3+\cdots +b_n\cdot a_n$。

幂

结合快速幂可以在 $O(n^3\log m)$ 求出 $A_{n,n}^m$

只有方阵才有幂运算。

广义矩阵乘法

$(\circ ,\oplus )$ 的矩阵乘法：

$$\begin{gathered} A_{n\times m}\ast B_{m\times p}=C_{n\times p} \\ {c}_{i,j}=\underset{k=1}{\overset{m}{⨁}}{a}_{i,k}\circ b_{k,j} \end{gathered}$$

若要 $\ast$ 运算满足结合律 $(A_{n\times m}\ast B_{m\times p})\ast C_{p\times q}=A_{n\times m}\ast (B_{m\times p}\ast C_{p\times q})$，则需以下条件：

1. $\oplus$ 交换律：$a\oplus b=b\oplus a$
2. $\circ$ 结合律：$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
3. $\circ$ 对 $\oplus$ 的左分配律：$(a\oplus b)\circ c=(a\circ c)\oplus (b\circ c)$
4. $\circ$ 对 $\oplus$ 的右分配律：$c\circ (a\oplus b)=(c\circ a)\oplus (c\circ b)$

证明：

设

$$(A_{n\times m}\ast B_{m\times p})\ast C_{p\times q}=X_{n\times q}$$

$$A_{n\times m}\ast (B_{m\times p}\ast C_{p\times q})=Y_{n\times q}$$

则

$$\begin{array}{rl}{x}_{i,j}& =\underset{k_2=1}{\overset{p}{⨁}}(\underset{k_1=1}{\overset{m}{⨁}}{a}_{i,k_1}\circ b_{k_1,k_2})\circ c_{k_2,j}\\ & =\underset{k_2=1}{\overset{p}{⨁}}\underset{k_1=1}{\overset{m}{⨁}}{a}_{i,k_1}\circ b_{k_1,k_2}\circ c_{k_2,j}& 3.\\ & =\underset{k_1=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{k_2=1}{\overset{p}{⨁}}{a}_{i,k_1}\circ b_{k_1,k_2}\circ c_{k_2,j}& 1.\\ y_{i,j}& =\underset{k_1=1}{\overset{m}{⨁}}{a}_{i,k_1}\circ (\underset{k_2=1}{\overset{p}{⨁}}{b}_{k_1,k_2}\circ c_{k_2,j})\\ & =\underset{k_1=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{k_2=1}{\overset{p}{⨁}}{a}_{i,k_1}\circ (b_{k_1,k_2}\circ c_{k_2,j})& 4.\\ & =\underset{k_1=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{k_2=1}{\overset{p}{⨁}}{a}_{i,k_1}\circ b_{k_1,k_2}\circ c_{k_2,j}& 2.\end{array}$$

则原命题得证。

常见的满足结合律的有 $(+,min),(+,max),(\times ,+)$。

对于矩阵，也满足上述 $4$ 个条件，所以元素是矩阵的矩阵也满足普通矩阵乘法的结合律！也就是矩阵套矩阵符合乘法结合律！

一旦满足乘法结合律，就可用快速幂在 $O(n^3\log m)$ 时间复杂度内求出类似 $A_{1,n}\cdot B_{n,n}^m$ 的值。