阶乘质因数分解

$1\le n\le {10}^6$， 唯一分解（质因数分解） $n!$，输出 $p_i,c_i$。

阶乘分解 AcWing197

思路

前置知识：线性筛 (质数判定的算法4)。

显然 $n!$ 的每个质因子都小于等于 $n$。

因为 $n!=n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$，所以质数 $p$ 在 $n!$ 出现的次数为 $p$ 在 $1\sim n$ 出现的次数。

对于 $i=1,2,3\dots n$：

对于 $p$：若有 $p|i$，则 $p$ 出现次数+1

对于 $p^2$：若有 $p^2|i$，则 $p$ 出现次数 +1，而不是 +2，因为其中一个 $p$ 在 $p|i$ 时被统计了。

对于 $p^3$：若有 $p^3|i$，则 $p$ 出现次数 +1，而不是 +3，因为其中一个 $p$ 在 $p|i$ 时被统计了，另一个 $p$ 在 $p^2|i$ 时被统计了。

...

则 $p$ 在 $n!$ 中出现的次数为 $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p^3}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n}{p^{\lfloor {\log }_{p}n\rfloor }}\rfloor =\sum _{p^k\le n}\lfloor \frac{n}{p^k}\rfloor$。

综上有以下步骤：

• 线性筛求 $1\sim n$ 内的质数。$O(n)$
• 遍历 $1\sim n$ 内的质数，找出质数$p$，$p|n$。$O(\pi (n))=O(\frac{n}{\log n})$
  • 对于质数 $p$，求出在 $n!$ 中出现的次数。$O(\log n)$

$\pi (x)$ 是小于等于 $x$ 的质数个数，约等于 $\frac{n}{\log n}$

综上时间复杂度为 $O(n+\frac{n}{\log n}\cdot \log n)=O(n)$。

代码实现

int n;
long long v[N];
::std::vector<int> ps;
int main() {
	scanf("%d", &n);

	/* 线性筛 */
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if(!v[i])
			v[i] = i, ps.push_back(i);
		for(int j : ps)
			if(v[i] < j || j > n / i) break;
			else v[i * j] = j;
	}

	for(int i : ps)
	{
		ll p = i;
		int c = 0;
		while(p <= n)
		{
			c += n / p;
			p *= i;
		}
		printf("%d %d\n", i, c);
	}
	return 0;
}