盒子与小球

n个小球放入m个盒子问题

（1）球 相同 也可以 不同

（2）盒 相同 也可以 不同

（3）盒 为空 也可以 不空

合计$2\times 2\times 2=8$种模型。

1、球相同，盒不同，盒不空

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相当于把n个相同小球分成m份，用插板法，在n个小球中间的n-1个空中，插入m-1个板子隔开。

答案为$C_{n-1}^{m-1}$。

2、球相同，盒不同，盒能空

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在第1类情况下继续分析，我们可以先假设m个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有m+n个相同的球，要放入m个不同的箱子，没有空箱。也就是第1种情，最后在从每个盒子里拿走1个小球。

答案为$C_{n+m-1}^{m-1}$。

3、球不同，盒相同，盒不空

题目链接：P2028 龙兄摘苹果

题目链接：P1655 小朋友的球

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设$dp[n][m]$表示n个不同小球放入m个相同盒子且盒不能为空的方案总数。

情况一：如果$n<m$ 则 $dp[n][m]=0$

情况二：如果$n>=m$则继续分析，由于小球不同故可以分步解决故考虑最后一个小球所放情况不同，共计两种情况。

（1）最后一个小球单独放入一个盒子，则前n-1个小球就放入m-1个盒子，方案总数为$dp[n-1][m-1]$

（2）最后一个小球与其他球放一起，因为球已经放入盒子，虽然盒子相同但球不同则选择放入的盒子也不同，故有m种放法。再考虑前n-1个小球放入m个盒子的方案 $dp[n-1][m]$ ，方案总数为 $m\times dp[n-1][m]$。

边界条件 $dp[n][m]=1(m=1,n\ge 1)$ 表示有球但只有1个盒子时，只有1种方案。

答案为 第二类斯特林数 ：

$dp[n][m]=\{\begin{array}{ll}0& m>n\\ 1& m=1,n\ge 1\\ m\times dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1]& m\le n\end{array}$

为方便计算后面的问题，设第3类问题答案为 $s[n][m]$。

4、球不同，盒相同，盒能空

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选出1，2，……，n-1个盒子为空，视做不同方案，这样就和第3类问题相同。

设$B[n][m]$表示n个不同小球放入m个相同盒子且盒能为空的方案总数。

答案为贝尔数：

$B[n][m]=s[n][1]+s[n][m]+\dots \dots +s[n][m]=\sum _{i=1}^{m}s[n][i]$

5、球不同，盒不同，盒不空

题目链接：P1287 盒子与球

我们可以用捆绑法将一些小球捆绑成一个小球，这道题可以等价为从n个小球中选出n−m+1个小球合并成一个大球，合并后为m-1个小球和1个大球共m个球，然后求m个球一共有多少种排列。

答案：$C_n^{n-m+1}\times A_m^m$

6、球不同，盒不同，盒能空

从小球的角度考虑，n个小球都有m种选择，故答案为: $m^n$

7、球相同，盒相同，盒能空

题目链接：P2386 放苹果

设$dp[n][m]$表示n个相同小球放入m个相同盒子且盒能为空的方案总数。

若n<m 则 dp[n][m]=dp[n][n],因为盒子相同故，问题可以拿走m-n个盒子。

由于球相同，故不能对球进行分步考虑，考虑盒子是否存在空盒子的情况。

（1）盒子不为空，则可以将m个盒子中都先放一个小球，问题就转换为了n-m个小球放入m个盒子中的方案数，dp[n][m]=dp[n-m][m]。

（2）盒子存在空，可以拿走一个盒子作为空盒子，问题就转换为了n个小球放入m-1个盒子的方案数，dp[n][m]=d[n][m-1]。

边界条件为n=0或者m=1时，没有球或者只有1个盒子时都只有1种方案。

$dp[n][m]=\{\begin{array}{ll}1& m=1||n==0\\ dp[n][n]& n<m\\ dp[n-m][m]+dp[n][m-1]& m\le n\end{array}$

为方便后面使用设该方案数为 $D[n][m]$

8、球相同，盒相同，盒不空

题目链接：P1025 [NOIP2001 提高组] 数的划分

设$dp[n][m]$表示n个相同小球放入m个相同盒子且盒不能为空的方案总数。

若 n<m 则 dp[n][m]=0 因为无法保证盒子不空

若 n>=m 可以将每个盒子中都放入一个小球，这样该问题就转换为第7类问题,允许为空的情况,$dp[n][m]=D[n-m][m]$。

$dp[n][m]=\{\begin{array}{ll}0& n<m\\ D[n-m][m]& n\ge m\end{array}$

Ps: 扩展题目

题目链接：P5824 十二重计数法