算法分析与设计——分治法实验报告
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算法导论 课程设计
题 目： 算法导论课程设计实验报告
学院班级： 1613013 学 号： 16130130216 姓 名： 库 妍 主讲教师： 张立勇 日 期： 2019.6.3 |
录
分治法
一、Implement exercise 2.3-7........................................4
二、Implement priority queue........................................6
三、Quicksort.......................................................8
四、找出第k大的元素...............................................10
动态规划法
一、Matrix-chain product...........................................13
二、Longest Common Subsequence (LCS)................................15
三、Longest Common Substring.......................................16
四、Max Sum........................................................18
五、Shortest path in multistage graphs.............................19
贪心法
一、Knapsack Problem...............................................22
二、scheduling problem.............................................23
三、Single-source shortest paths...................................24
四、All-pairs shortest paths.......................................26
回溯法
一、0/1 Knapsack Problem...........................................29
二、8-Queen problem................................................30
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算法导论 课程设计
题 目： 分 治 法
学院班级： 1613013 学 号： 16130130216 姓 名： 库 妍 主讲教师： 张立勇 日 期： 2019.3.21 |
一、Implement exercise 2.3-7
1、实验题目
描述一个运行时间为O(nlgn)的算法，给定n个整数的集合S和另一个整数x，该算法能确定S中是否存在两个其和刚好为x的元素。
2、使用的算法
（1）运用归并排序算法，先对集合中的整数进行排序。
（2）归并排序后，运用二分查找两个数和为x的元素。
3、算法分析与设计
（1）首先将S进行排序，然后再通过查找算法进行查找。插入排序算法复杂度最差O（n^2），归并排序最差为O（nlgn），堆排序为最差为O（nlgn），快速排序最差为O（n^2），这里直接使用归并排序。归并排序运用的是分治思想，时间复杂度为 O(nlgn)，能够满足题目要求的运行时间。
①分解（devide）：归并排序将n个元素分成各含n/2g个元素的子序列，对已经分解的两个部分再进行分解直到将数组分解成单个元素为止。
②解决（conquer）：用合并排序法递归求解排序子序列。
③合并（combine）：合并部分是将已经排序的两个子序列进行合并得到结果。
（2）二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好，占用系统内存较少。折半查找法也称为二分查找法，它充分利用了元素间的次序关系，采用分治策略，可在最坏的情况下用O(lg n)完成搜索任务。它的基本思想是，将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与欲查找的x作比较，如果x=a[n/2]则找到x，算法终止。如 果x<a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部继续搜索x(这里假设数组元素呈升序排列)。如果x>a[n/2]，则我们只要在数组a的右 半部继续搜索x。
1、项目测试（功能与性能）
时间复杂度为O（nlgn）
1、实验总结
遇到的问题及解决：
MERGE过程中，子数组A[p..q]和A[q+1..r]，待合并个数n1 = q - p + 1，n2 = r - q，计算时容易出错。
另外，进行二分查找时right = A.length - 1，数组最后一个元素的下标是数组A的长度减1。
二、Implement priority queue
1、实验题目
实现优先级队列，即需要支持以下操作：INSERT(S,x):把元素x插入到集合S中；MAXMUM(S):返回S中具有最大key的元素；EXTRACT-MAX(S):去掉并返回S中的具有最大key的元素； INCREASE-KEY(S,x,k)：将元素x的关键字值增到k。
2、使用的算法
运用堆排序，来实现优先队列。
3、算法分析与设计
（1）堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。堆排序算法分为3个过程，MAX-HEAPIEY:调整堆以满足小顶堆性质，其时间复杂度为O(lgn)；BUILD-MAXHEAP:从无序的输入数据数组中构造小顶堆，其时间复杂度为线性时间;HEAP-SORT:对数组进行原址排序，其时间复杂度为O(nlgn)。
（2）在堆的基础上实现优先队列INSERT、MAXMUM、EXTRACT-MAX、INCREASE-KEY，时间复杂度为O(lgn)。
4、项目测试（功能与性能）
1、实验总结
编写HEAP-EXTRACT-MAX函数的时候，当去掉第一个元素后，程序要调用MAX-HEAPIFY进行调整堆，否则最后序列是无序状态。另外，开始没有理解BUILD-MAX-HEAP的过程，当对某结点调用BUILD-MAX-HEAP时，该结点的两棵子树都已是最大堆。
三、Quicksort
1、实验题目
实现quick_sort算法，并且回答以下两个问题：
（1）待排数组中的元素值都相同的情况下，运用quick_sort需要进行多少次比较？
（2）对于n个元素的数组，运用quick_sort举出需要进行比较次数的上限和下限是多少？
2、使用的算法
使用了快速排序算法。
3、算法分析与设计
快速排序采用分治策略，时间复杂度为O(nlgn),但是最坏情况下为O(n2),并且快速排序算法属于原地排序，并不需要开辟空间。快速排序复杂的步骤为其分解的步骤。
①分解（divide）：数组A[p..r]被划分为两个子数组A[p..q-1]和A[q+1..r], 使得A[p..q-1]中的每个元素都小于等于A[q],而且，小于等于A[q+1..r] 中的每个元素。下标q也在这个划分过程中进行计算。
②解决（conquer）：通过递归调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r] 进行排序。
③合并（combine）：因为两个子数组是就地排序的，将它们的合并不需要操 作，整个数组A[p..r]已排序。
4、项目测试（功能与性能）
5、实验总结
问题回答：
（1）当选择第一个或最后一个参考点时，当n个元素相同时为最坏情况，比较的数目是n *（n-1）/ 2。
（2）快速排序比较的最小数目是nlgn，最大的比较数是n^2。
四、找出第k大的元素
1、实验题目
运用分治的策略将两个已经排好序的序列中，找出第k大的元素，且要求时间复杂度为O(lgm + lgn),其中m和n分别为两个序列的长度。
2、使用的算法
使用分治策略
3、算法分析与设计
解法一：
（1）分解：因为已经是两个独立的的序列，所以不用进行分解。
（2）解决：因为两个序列为已经排好的序列，因此不用分开进行排序。
（3）利用归并排序中的merge函数，将这两个序列分别看成是L[]和R[]两个数组，通过开辟一个新的数组，将两个数组合并成一个新的排好序的序列，在根据要求的k值，对新的数组进行取值。
解法二：题目只要求第k大的数，没必要花力气将数组全部再排序，可以定义两个游标分别指向两个有序数组，按序移动，并用count计数，当count等于k时，返回两个游标指向的数中最小的那一个。
4、项目测试（功能与性能）
时间复杂度为O(lgm + lgn)。
5、实验总结
理解分治策略的三个步骤：分解、解决和合并在具体问题上的应用，根据时间复杂度与所学的算法进行结合。为了解决一个问题，算法要一次或多次地调用其自身来解决相关的子问题，这些算法常采用分治策略。分治法将原问题划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后合并其结果，得到子问题的解。
