基本问题整理

1.组合计数

给定 $n$ 个完全相同的球，要分成 $k$ 组，要求每组球至少有一个球，求方案数。

原问题可以转化成有 $n-1$ 个空，要将 $k-1$ 块板子插在中间，将其分成 $n$ 份。答案即为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$

2.组合计数

原问题与 1. 几乎一致，不过每组球可以为空。

我们考虑在原来的球数上加上 $k$ 个球，然后再按照 1. 的方法来分，分完后再将原来的 $k$ 个球拿走。答案即为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{n})$

3.组合计数

原问题与 1. 几乎一致，不过要求第 $i$ 组球至少有 $a_i$ 个。

我们设分完后第 $i$ 组球有 $x_i$ 个，显然根据要求 $x_i\ge a_i$，据此我们可以列出等式。

$$x_1+x_2+...+x_k=n$$

再令 $x_i^{{}^{\prime }}=x_i-a_i$

所以

$$(x_1^{{}^{\prime }}+a_1)+(x_2^{{}^{\prime }}+a_2)...(x_k^{{}^{\prime }}+a_k)=n$$

将 $a_i$ 移到右边，可得

$$x_1^{{}^{\prime }}+...x_n^{{}^{\prime }}=n-a_1-a_2-...a_k$$

因为 $x_i\ge a_i$，所以 $x_i^{{}^{\prime }}\ge 0$，问题转化成 2. ，答案即为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\sum _{i=1}^k{a}_i+k-1}{k-1})$

4.组合计数

原问题与 1. 几乎一致，不过要求没有一组球个数超过 $m$ 个

考虑容斥，暴力枚举有几组球大于 $m$ 个，剩余的随便填，对于每一个子问题就转化成了问题 3. 求解即可。

$$ans=\sum _{i=1}^k(-1{)}^i\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m\times i+k-i-1}{k-i-1})$$