一道圆锥曲线题的隐式求导写法

Problem

已知抛物线 $C:~y^2=2x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，点 $P$ 为抛物线 $C$ 上一动点（异于顶点），过 $P$ 做准线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$，且 $\triangle PFH$ 重心为 $M$，求证 $MP$ 与抛物线 $C$相切。

Solution

设 $P(x_0,y_0)$，则有 $H(-\frac{1}{2},y_0),~F(\frac{1}{2},0)$。
设 $Q$ 为 $PF$ 中点，则 $Q(\frac{x_0+\frac{1}{2}}{2},{\frac{y_0}{2}})$。
$k_{PF}=\frac{y_0}{x_0-\frac{1}{2}}$

为方便描述，下述带有 $\bot$ 下标的边表示该边的垂直平分线。

$k_{PF_\bot}=\frac{-x_0+\frac{1}{2}}{y_0}$
$l_{PF_\bot}:~y=\frac{-x_0+\frac{1}{2}}{y_0}(x-\frac{x_0+\frac{1}{2}}{2})+\frac{y_0}{2}=\frac{-x_0+\frac{1}{2}}{y_0}(x-\frac{x_0}{2}-\frac{1}{4})+\frac{y_0}{2}$
$l_{PH_\bot}:~x=\frac{x_0-\frac{1}{2}}{2}=\frac{x_0}{2}-\frac{1}{4}$
$M=l_{PF_\bot}\cap l_{PH\bot}\rightarrow y=\frac{-x_0+\frac{1}{2}}{y_0}(\frac{x_0}{2}-\frac{1}{4}-\frac{x_0}{2}-\frac{1}{4})+\frac{y_0}{2}=\frac{x_0-\frac{1}{2}}{2y_0}+\frac{y_0}{2}=\frac{y_0^2+x_0-\frac{1}{2}}{2y_0}=\frac{3x_0-\frac{1}{2}}{2y_0}$
$k_{PM}=\frac{y_0-\frac{3x_0-\frac{1}{2}}{2y_0}}{x_0-\frac{2x_0-1}{4}}=\frac{\frac{2y_0^2-3x_0}{2y_0}+\frac{1}{2}}{\frac{4x_0-2x_0+1}{4}}=\frac{\frac{x_0+\frac{1}{2}}{2y_0}}{\frac{2x_0+1}{4}}=\frac{\frac{2x_0+1}{y_0}}{2x_0+1}=\frac{1}{y_0}$

隐式求导，得 $2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2$，即 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{y}$