生成函数（母函数）

生成函数（母函数）

定义

生成函数（Generating Function）又称母函数，是处理组合数学问题的一大利器。
它是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
生成函数有许多不同的种类，但大多可以表示为单一的形式：$$F(x)=\sum _n{a}_n{k}_n(x)$$
其中 $k_n(x)$ 被称为核函数。不同的核函数会导出不同的生成函数，拥有不同的性质:

• 普通生成函数：$k_n(x)=x^n$;
• 指数生成函数：$k_n(x)=\frac{x_n}{n!}$
• 狄利克雷生成函数：$k_n(x)=\frac{1}{n^x}$

同形式幂级数，我们常用 $[k_n(x)]F(x)$ 来表示它的第 $n$ 项的核函数对应的系数，也就是 $a_n$.

一些可能会用到得公式

• $(1+x{)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+\cdots +C_n^r{x}^r+\cdots +C_n^n{x}^n$.
• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^k+\cdots$
• $(1-x{)}^{-n}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+k-1}^k{x}^k$
• $(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{a}^i{b}^{n-i}$

普通生成函数

普通型母函数的特色是标志函数 $f_k(x)=x^k$。
常用来解决无标号有序的计数问题。

一、定义

对于序列 $a_0,a_1,a_2+\cdots$ 的普通生成函数为形式幂级数 $F(x)=\sum _{i\ge 0}{f}_i{x}^i$,
若已知序列 $a_0,a_1,a_2+\cdots$

三、示例

例1

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

$1$个$1$克砝码可以看成$1+x^1$，$1$表示不取，$x1$表示取一个，以下同理。
$1$个$2$克砝码可以看成$1+x^2$
$1$个$3$克砝码可以看成$1+x^3$
$1$个$4$克砝码可以看成$1+x^4$
构造母函数 $G(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3）(1+x^4)$ $=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^{10}$
在这个函数中，若指数表示可称出重量，系数表示方案数，则可以看出重量为$3$克、$4$克、$5$克、$6$克、$7$克的方案数均有两种，而重量为$1$克、$2$克、$8$克、$9$克、$10$克的方案只有$1$种。

例2

食物

在许多不同种类的食物中选出 $n$ 个，每种食物的限制如下：
承德汉堡：偶数个
可乐：$0$ 个或 $1$ 个
鸡腿：$0$ 个，$1$ 个或 $2$ 个
蜜桃多：奇数个
鸡块：$4$ 的倍数个
包子：$0$ 个，$1$ 个，$2$ 个或 $3$ 个
土豆片炒肉：不超过一个
面包：$3$ 的倍数个
每种食物都是以「个」为单位，只要总数加起来是 $n$ 就算一种方案。对于给出的 $n$ 你需要计算出方案数，对 $10007$ 取模。

对于每种食物的生成函数：

• 承德汉堡：$1+x^2+x^4+\cdots =\frac{1}{1-x^2}$
• 可乐：$1+x$
• 鸡腿：$1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$
• 蜜桃多：$x+x^3+x^5+\cdots =x(1+x^2+x^4+\cdots )=\frac{x}{1-x^2}$
• 鸡块：$1+x^4+x^8+\cdots =\frac{1}{1-x^4}$
• 包子：$1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$
• 土豆片炒肉：$1+x$
• 面包：$1+x^3+x^6+\cdots =\frac{1}{1-x^3}$

全部乘起来得到 $\frac{x}{(1-x{)}^4}$ 即

$$x(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+4-1}^n\times x^n)$$

$$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+3}^n\times x^{n+1}$$

$$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+2}^{n-1}{x}^n$$

$$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_{n+2}^3{x}^n$$

所以答案为 $C_{n+2}^3=\frac{(n+2)\times (n+1)\times n}{6}$

例3

求斐波那契数列通项，已知 $f_n=\{\begin{array}{cc}1& n\le 1\\ f_{n-1}+f_{n-2}& n>1\end{array}$

对于其母函数T有:

$$F(x)=\sum _{i\ge 0}{f}_i{x}^i$$

$$=f_0+f_{1}x+\sum _{i\ge 2}{f}_i{x}^i$$

$$=x+\sum _{i\ge 2}(f_{i-2}+f_{i-1})x^i$$

$$=x+x^2+\sum _{i\ge 2}{f}_{i-2}{x}^{i-2}+x\sum _{i\ge 2}{f}_{i-1}{x}^{i-1}$$

$$=x+x^{2}F(x)+xF(x)$$

解得 $$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$
将 $\frac{x}{1-x-x^2}$ 化开得

$$F(x)=\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}-\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}$$

所以 $$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$$

指数生成函数

常用来解决有标号有序的计数问题
未完······