生成函数(母函数)
生成函数(母函数)
定义
生成函数(Generating Function)又称母函数,是处理组合数学问题的一大利器。
它是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
生成函数有许多不同的种类,但大多可以表示为单一的形式:
其中
- 普通生成函数:
; - 指数生成函数:
- 狄利克雷生成函数:
同形式幂级数,我们常用
一些可能会用到得公式
.
普通生成函数
普通型母函数的特色是标志函数
常用来解决无标号有序的计数问题。
一、定义
对于序列
若已知序列
三、示例
例1
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?
构造母函数
在这个函数中,若指数表示可称出重量,系数表示方案数,则可以看出重量为
例2
在许多不同种类的食物中选出
个,每种食物的限制如下:
承德汉堡:偶数个
可乐:个或 个
鸡腿:个, 个或 个
蜜桃多:奇数个
鸡块:的倍数个
包子:个, 个, 个或 个
土豆片炒肉:不超过一个
面包:的倍数个
每种食物都是以「个」为单位,只要总数加起来是就算一种方案。对于给出的 你需要计算出方案数,对 取模。
对于每种食物的生成函数:
- 承德汉堡:
- 可乐:
- 鸡腿:
- 蜜桃多:
- 鸡块:
- 包子:
- 土豆片炒肉:
- 面包:
全部乘起来得到
所以答案为
例3
求斐波那契数列通项,已知
对于其母函数T有:
解得
将
所以
指数生成函数
常用来解决有标号有序的计数问题
未完······
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