莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

一篇莫反入门不错的文章

莫比乌斯函数

定义

将 $n$ 质因数分解

$n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{{\alpha }_i}$

则

$\mu (n)=\{\begin{array}{cc}1,& n=1\\ 0,& \mathrm{\exists }{\alpha }_i>1\\ (-1{)}^k,& \mathrm{\forall }{\alpha }_i=1\end{array}$

性质

• 积性函数.
• $s(n)=\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1,& n=1\\ 0,& n\ne 1\end{array}$
  即 $s(n)=\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$

线性筛

code

int primes[N], cnt, mu[N];
bool st[N];
 
void init()
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[ ++ cnt] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= cnt && primes[j] * i < N; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
            mu[primes[j] * i] = -mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯反演

对于一些函数 $f(n)$，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 $g(n)$，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 $f(n)$ 的值.

定义

• 形式一：

  若 $g(n)=\sum _{d|n}f(d)$, 则 $f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$.

• 形式二：

  若 $g(n)=\sum _{n|d}f(d)$, 则 $f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)$.

问题形式

P1390 公约数的和

给定 $n(n\le 2e6)$， 求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^{n}gcd(i,j)$.

一些无关但有用的推导

$\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\mu (d)=\sum _{d=1}^n\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \mu (d)$

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=1]$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|i}\sum _{d|j}\mu (d)$
$=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\sum _{j=1}^m\sum _{d|j}\mu (d)$
$=\sum _{d=1}^n\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \sum _{d=1}^m\lfloor \frac{m}{d}\rfloor \mu (d)$
$=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$
即
$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=1]=\sum _{d=1}^{min(n,m)}\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$
再来看此题
求
$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$
$=\sum _{k=1}^{n}k\times \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=k]$

$=\sum _{k=1}^{n}k\times \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[gcd(i,j)=1]$
令
$n^{\prime }=\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$
结果为

$=\sum _{k=1}^{n}k\times \sum _{d=1}^{n^{\prime }}\mu (d){\lfloor \frac{n^{\prime }}{d}\rfloor }^2$

运算时需要运用数论分块和前缀和.
结果减去一些多余的即可.

[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

给定 $n,m(n,m\le 1e7)$， 求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}lcm(i,j)$.

推导：
$\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\times j}{k}[gcd(i,j)=k]$

$=\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }i\times j\times k[gcd(i,j)=1]$

$=\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }i\times j\times k\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$

$=\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{k}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{k}\rfloor )}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dk}\rfloor }i\times j\times k\times d^2\times \mu (d)$

$=\sum _{k=1}^{min(n,m)}k\times \sum _{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{k}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{k}\rfloor )}{d}^2\times \mu (d)\times \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{dk}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{dk}\rfloor }i\times j$

设
$sum(n,m)=\sum _{d=1}^{min(n,m)}{d}^2\times \mu (d)\times \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }i\times j$

答案为
$\sum _{k=1}^{min(n,m)}k\times sum(\lfloor \frac{n}{k}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{k}\rfloor )$

数论分块求解即可.