拓展中国剩余定理 exCRT

求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_{1}, n_{2}, \cdot \cdot \cdot, n_{k}$ 不两两互质）

{\begin{matrix} x & \equiv & a_{1} & (m o d n_{1}) \\ x & \equiv & a_{2} & (m o d n_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv & a_{k} & (m o d n_{k}) \end{matrix}

推导：从简单入手，先考虑同于方程组只有两个式子的情况

x \equiv c_{1} (m o d m_{1})

x \equiv c_{2} (m o d m_{2})

变形：

x = c_{1} + m_{1} k_{1}

x = c_{2} + m_{2} k_{2}

联立：

c_{1} + m_{1} k_{1} = c_{2} + m_{2} k_{2}

移项：

m_{1} k_{1} = c_{2} - c_{1} + m_{2} k_{2}

用 $(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。
方程有解的条件为 $(m_{1}, m_{2}) | (c_{2} - c_{1})$ .
对于上面的方程，两边同除 $(m_{1}, m_{2})$

\frac{m_{1} k_{1}}{(m_{1}, m_{2})} = \frac{(c_{2} - c_{1})}{(m_{1}, m_{2})} + \frac{m_{2} k_{2}}{(m_{1}, m_{2})}

转换：

\frac{m_{1}}{(m_{1}, m_{2})} k_{1} \equiv \frac{c_{2} - c_{1}}{(m_{1}, m_{2})} (m o d \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})})

同余式两边同除 $\frac{m_{1}}{(m_{1}, m_{2})}$

k_{1} \equiv i n v (\frac{m_{1}}{(m_{1}, m_{2})}, \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})}) \times \frac{(c_{2} - c_{1})}{(m_{1}, m_{2})} (m o d \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})})

k_{1} = i n v (\frac{m_{1}}{(m_{1}, m_{2})}, \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})}) \times \frac{(c_{2} - c_{1})}{(m_{1}, m_{2})} + \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})} \times y

$i n v (a, b)$ 表示 $a$ 在模 $b$ 意义下的逆元。
将 $k_{1}$ 代入 $x = c_{1} + m_{1} k_{1}$
得：

x = i n v (\frac{m_{1}}{(m_{1}, m_{2})}, \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})}) \times \frac{(c_{2} - c_{1})}{(m_{1}, m_{2})} \times m_{1} + \frac{m_{1} m_{2}}{(m_{1}, m_{2})} \times y + c_{1}

x \equiv i n v (\frac{m_{1}}{(m_{1}, m_{2})}, \frac{m_{2}}{(m_{1}, m_{2})}) \times \frac{(c_{2} - c_{1})}{(m_{1}, m_{2})} \times m_{1} + c_{1} (m o d \frac{m_{1} m_{2}}{(m_{1}, m_{2})})

推广一下

我们每次把两个同余式合并，求解之后得到一个新的同余式。再把新的同余式和其他的联立，最终就可以求出满足条件的解。

【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

code

 //#define int __int128
const int N = 1e5 + 10;
 
int n, M[N], C[N];
 
int gcd(int a, int b)
{
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}
 
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
 
int inv(int a, int b)
{
    int x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    return x < 0 ? x += b : x;
}
 
signed main()
{
    rd(n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        rd(M[i]), rd(C[i]);
    bool flag = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        int M1 = M[i - 1], M2 = M[i], C1 = C[i - 1], C2 = C[i], t = gcd(M1, M2);
        if ((C2 - C1) % t != 0)
        {
            flag = 0;
            break;
        }
        M[i] = (M1 * M2) / t;
        C[i] = (inv(M1 / t, M2 / t) * (C2 - C1) / t) % (M2 / t) * M1 + C1;
        C[i] = (C[i] % M[i] + M[i]) % M[i];
    }
    if (flag)
        wr(C[n]);
    else puts("");
    return 0;
}

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本文作者：kroyosh

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posted @ 2022-08-22 07:32 kroyosh 阅读(38) 评论(0) 编辑收藏举报

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	//#define int __int128
	const int N = 1e5 + 10;

	int n, M[N], C[N];

	int gcd(int a, int b)
	{
	return !b ? a : gcd(b, a % b);
	}

	int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
	{
	if (!b)
	{
	x = 1, y = 0;
	return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
	}

	int inv(int a, int b)
	{
	int x, y;
	exgcd(a, b, x, y);
	return x < 0 ? x += b : x;
	}

	signed main()
	{
	rd(n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	rd(M[i]), rd(C[i]);
	bool flag = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i ++ )
	{
	int M1 = M[i - 1], M2 = M[i], C1 = C[i - 1], C2 = C[i], t = gcd(M1, M2);
	if ((C2 - C1) % t != 0)
	{
	flag = 0;
	break;
	}
	M[i] = (M1 * M2) / t;
	C[i] = (inv(M1 / t, M2 / t) * (C2 - C1) / t) % (M2 / t) * M1 + C1;
	C[i] = (C[i] % M[i] + M[i]) % M[i];
	}
	if (flag)
	wr(C[n]);
	else puts("");
	return 0;
	}