牛客网 - 猜数问题

来源：牛客网 - 2017年校招全国统一模拟笔试（秋招三模）

牛牛和羊羊在玩一个有趣的猜数游戏。在这个游戏中,牛牛玩家选择一个正整数,羊羊根据已给的提示猜这个数字。第i个提示是"Y"或者"N",表示牛牛选择的数是否是i的倍数。
例如,如果提示是"YYNYY",它表示这个数使1,2,4,5的倍数,但不是3的倍数。
注意到一些提示会出现错误。例如: 提示"NYYY"是错误的,因为所有的整数都是1的倍数,所以起始元素肯定不会是"N"。此外,例如"YNNY"的提示也是错误的,因为结果不可能是4的倍数但不是2的倍数。
现在给出一个整数n,表示已给的提示的长度。请计算出长度为n的合法的提示的个数。
例如 n = 5:
合法的提示有:
YNNNN YNNNY YNYNN YNYNY YYNNN YYNNY
YYNYN YYNYY YYYNN YYYNY YYYYN YYYYY
所以输出12 

输入描述:

输入包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10^6),表示已给提示的长度。

 

输出描述:

输出一个整数,表示合法的提示个数。因为答案可能会很大,所以输出对于1000000007的模

 

示例1

输入:

5

输出：

12

 

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分析（参考 EDG_Clearlove7 和 pku_coder）

从三种情况分析：

1. 如果第 i 个数为素数，那么长度为  i 的提示的个数为 dp[i] = dp[i - 1] * 2; 因为素数和之前的所有数没有关系，又第 i 个数有 Y 和 N 两种可能性；

2. 如果第 i 个数既不是素数，也不是素数的幂次，如 6 = 2 * 3，会发现 6 已经被 2 和 3 确定。例如当 2 3 为 Y Y 时，6 只能是 Y；当 2 3 为 Y N 或 N Y 或 N N，6 只能是 N。此时，长度为 i 的提示的个数为 dp[i] = dp[i - 1]；

3. 如果第 i 个数为素数的幂次，它不能被唯一确定，如 4，当 2 为 Y 时，4 可能为 Y 或 N；当 2 为 N 时，4 只能为 N。那么此时 4 与 2 的集合为 24 = { NN, YN, YY }，因此有 3 种可能。加入 8 后，由于 8 = 2 * 4，因此当 24 中有 N 时，8 为 N；当 24 为 YY 时，8 可能为 Y，也可能为 N。则此时有 248 = {NNN, YNN, YYN, YYY}，4 种可能。加入 16 后，由于 16 = 2 * 8，因此当 28 中有 N 时，16 为 N；当 28 为 YY 时，16 可能为 Y，也可能为 N。由 8 = 2 * 4 得知，28 为 YY 当且仅当 248 为 YYY 时，因此此时有 24816 = {NNNN, YNNN, YYNN, YYYN, YYYY}，5 种可能。

由以上分析可知，

如果第 i 个数为素数的 1 次幂或素数的 n(n > 1) 次幂，那么从素数的所有次幂到该数的可能性为 （幂次的所有数 + 1）。

如果第 i 个数不为素数的幂次，那么其取值被其因子唯一确定。

因此，对于输入为 n，1 不用考虑，从 2 开始考虑，例如 n = 10，则：

素数 2 的所有次幂的数为 2，4，8，则可能性为 3 + 1 = 4 种；

素数 3 的所有次幂的数为 3，9，则可能性为 2 + 1 = 3 种；

4 已经被考虑到；

素数 5 的所有次幂的数为 5，10，则可能性 2 + 1 = 3 种；

6 = 2 * 3 被 2 和 3 唯一确定；

素数 7 的所有次幂的数为 7，则可能性为 1 + 1 = 2 种；（此时也体现了第一种情况）

8 已经被考虑到；

9 已经被考虑到；

10 已经被考虑到；

由于素数之间相互独立，则总的可能性为 probability(2) * probability(3) * probability(5) * probability(7)；

由以上我们能知道，对于输入 n，其提示的总的可能性为小于 n 的所有素数的次幂数的乘积。因此，编程思想为：

首先，确定所有小于 n 的素数；

其次，确定所有素数在 2 ~ n 内的所有次幂的个数；

最后，求出素数所有次幂的个数 + 1 的乘积；

 

#include <iostream>
using namespace std;

const long maxn = 1E6 + 1;
const long MOD = 1E9 + 7;

int prime[maxn] = { 0 };　　// 存储是否为素数的次幂或因子有素数

int main()
{
    long n;
    cin >> n;

　　// 输入判断
    if (n < 1 || n > maxn)
    {
        return 0;
    }

    long long ans = 1;    
    for (long i = 2; i <= n; ++i)
    {
　　　　// 如果为 已计算的素数的次幂 或 因子中有已计算的素数，跳过
        if (prime[i])
        {
            continue;
        }

　　　　// 如果是 当前素数的次幂 或 因子有当前素数
        for (long j = i + i; j <= n; j += i)
        {
            ++prime[j];
        }

        int power_num = 0;
        long prime_tmp = i;

　　　　　// 计算小于 n 的当前素数的次幂的个数
        while (prime_tmp <= n)
        {
            ++power_num;
            prime_tmp *= i;
        }

　　　　// 由于结果比较大，因此这里必须取模
        ans = ans * (power_num + 1) % MOD;
    }

    cout << ans % MOD << endl;

    return 0;
}