莫比乌斯反演和函数

本人学艺不精，如有错误，敬请指出……

---

莫比乌斯函数

概念

莫比乌斯函数的定义如下：

• 若\(d=p_1 p_2 \cdots p_k,p_i\)为互异质数，那么\(\mu(d)=(-1)^k\)。（注意，p互不相等，也就是说，一个数不能有多个相同的质因子）
• 其他情况下\(\mu(d)=0\)。

性质

对于任意正整数\(n\)有

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\left\{ \begin{array}{} 1 & (n=1)\\ 0 & (n>1)\\ \end{array} \right. \]

证明：

• 当\(n=1\)时显然

• 当\(n>1\)时

  首先将\(n\)分解成\(n=p_1^{a_1} p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}\)

  因为在\(n\)中的所有因子\(d\)中，只有\(\mu(d)\)不为零的才会计算到答案里，所以说我们设\(r=p_1p_2\cdots p_r\)

  此时有

  \[\sum_{d|n}\mu(d)=C^0_k-C^1_k+C^2_k+\cdots+(-1)^kC^k_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^iC^i_k \]

  由二项式定理得

  \[(x+y)^n=\sum_{i=0}^n C^i_nx^iy^{n-i} \]

  当\(x=1,y=-1\)时

  \[\sum^{n}_{i=0}C^i_n(-1)^i=(-1+1)^n=0 \]

  得证

求法

因为莫比乌斯函数是积性函数，所以求莫比乌斯函数可以用线性筛来求。

莫比乌斯反演

概念

我们设

\[F(n)=\sum_{d|n} f(d) \]

然后我们可以用\(f(n)\)来推\(F(n)\)，经过一波推规律（先把每个\(F(1～8)\)表示出来，再把每个\(f(1～8)\)用\(F(1～8)\)表现出来），就可以发现

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot F(\dfrac{n}{d}) \]

其中\(\mu(d)\)就是莫比乌斯函数。

证明

形式一

我们来看看怎样证明莫比乌斯反演。

首先我们将\(F(\dfrac{n}{d})\)代入式子

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k) \]

通过合适的变幻，我们可以得出

\[\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d) \]

因为

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\left\{ \begin{array}{} 1 & (n=1)\\ 0 & (n>1)\\ \end{array} \right. \]

所以只有在\(\frac{k}{n}=1\)时，\(\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=1\)，其余时为零，故

\[\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=f(n) \]

得证

形式二

这一种在推导过程中更常用。

我们设

\[F(n)=\sum_{n|d} f(d) \]

莫比乌斯反演后

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\dfrac{d}{n})F(d) \]

这两个公式乍一看和上面没什么不同，但仔细多看几遍，会发现，你枚举的\(d\)是\(n\)的倍数，而形式一中\(n\)是\(d\)的倍数。

其实我第一眼看上去，也觉得不可思议，倍数不是有无限个吗？为什么还能成立呢？接下来我们在来证明一下。

首先将\(F(d)\)代入

\[\sum_{n|d}\mu(\dfrac{d}{n})F(d)=\sum_{n|d}\mu(\dfrac{d}{n})\sum_{d|k}f(k) \]

然后经过合适的变幻，有

\[\sum_{n|d}\mu(\dfrac{d}{n})\sum_{d|k}f(k)=\sum_{n|k}f(k)\sum_{d|\frac{k}{n}}\mu(d) \]

因为

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\left\{ \begin{array}{} 1 & (n=1)\\ 0 & (n>1)\\ \end{array} \right. \]

所以只有在\(\frac{k}{n}=1\)时，\(\sum_{d|\frac{k}{n}}\mu(d)=1\)，其余时为零，故

\[\sum_{n|k}f(k)\sum_{d|\frac{k}{n}}\mu(d)=f(n) \]

得证