【poj 2115】C Looooops（数论--拓展欧几里德 求解同余方程 模版题）
题意：有一个在k位无符号整数下的模型：for (variable = A; variable != B; variable += C) statement; 问循环的次数，若“永不停息”(←_←)*，就输出"FOREVER"。
解法：用拓展欧几里德方法求出gcd最大公因数，再利用同余性质转化，求同余方程，或者不定方程。其中题目可化为 a+cx=b(mod 2^k) → cx=b-a(mod 2^k)，求最小正整数解。也是求解同余方程。
先将方程化为一般形式：ax=c(mod p) → ax+py=c 。若 gcd(a,p)|c，就可以利用 ax+py=gcd(a,b)(mod p) [一般没有mod p] ，再把变量 x,y 乘上 c/gcd(a,b) 就是答案了。而要求最小正整数解，就是根据 ax+py=gcd(a,p) → a(x+p/gcd(a,p))+p(y-a/gcd(a,p)=gcd(a,p) ，所有的 x' 都满足 x+p/gcd(a,p) 来进行调整，并且取模。因为 每对 x 与 x' 都相差 p/gcd(a,p)，那么根据同余的定义，x 和 x' 关于模 p/gcd(a,p) 同余，所以可以一直取模来调整。而对于 p/gcd(a,p) ，为正时取模才有保证最非负的意义。
注意——位运算超过30位时，尽管变量为long long，也要在之前加上强制转型(long long)。见代码的24行......之前我一次比赛，数组初始化是long long类型的，也要在数字后面加上"LL"或" l l "。
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 using namespace std; 6 typedef long long LL; 7 8 LL mabs(LL x) {return x>0?x:-x;} 9 LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y) 10 { 11 if (!b) {x=1,y=0; return a;} 12 LL d,tx,ty; 13 d=exgcd(b,a%b,tx,ty);//bx'+(a%b)y'=1(mod p) 14 x=ty,y=tx-(a/b)*ty;//ay'+b(x'-t*y')=1(mod p) 15 return d; 16 } 17 int main() 18 { 19 LL aa,bb,cc,pp; 20 while (1) 21 { 22 scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&aa,&bb,&cc,&pp); 23 if (!aa && !bb && !cc && !pp) break; 24 LL a=cc,b=(LL)1<<pp,c=bb-aa,p=(LL)1<<pp; 25 LL d,x,y;//cx=b-a(mod 2^k)-->cx+2^k*y=b-a-->gcd(c,2^k)=1才有解 26 d=exgcd(a,b,x,y); 27 if (c%d!=0) printf("FOREVER\n"); 28 else 29 { 30 x=(x*(c/d))%p;//ax+by=c(mod p)的解 31 LL t=mabs(b/d); 32 x=(x%t+t)%t;//最小非负整数解 33 if (!x) x+=t;//为0时要调整
34 printf("%I64d\n",x); 35 } 36 } 37 return 0; 38 }
