【转】欧拉筛
原博是这个链接： 线性筛（欧拉筛） http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html
我只拷贝了我在学的内容——
一般的筛法（PPT里叫埃拉托斯特尼筛法，名字异常高贵）的效率是O(NlglgN)（其实很接近O(n)啊！），对于一些例如N=10000000的残暴数据会跪，于是，线性筛登场了…
1 #include <cstring> 2 using namespace std; 3 int prime[1100000],primesize,phi[11000000]; 4 bool isprime[11000000]; 5 void getlist(int listsize) 6 { 7 memset(isprime,1,sizeof(isprime)); 8 isprime[1]=false; 9 for(int i=2;i<=listsize;i++) 10 { 11 if(isprime[i])prime[++primesize]=i; 12 for(int j=1;j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize;j++) 13 { 14 isprime[i*prime[j]]=false; 15 if(i%prime[j]==0)break; 16 } 17 } 18 }
以上是线性筛代码。
就我的理解，线性筛有两个地方与一般筛不同：
1.两层循环的顺序不同（一般筛是第一维prime[i] 第二维j，欧拉筛是第一维i 第二位prime[j]）
2.一行神奇的代码：
14 if(i%prime[j]==0)break;
这行代码神奇地保证了每个合数只会被它的最小素因子筛掉，就把复杂度降到了O(N)。
接下来是证明这个算法正确性的说明：
prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime[j+1]=k’*prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。
显然，线性筛只拿来筛筛素数是很不科学的，它的速度大约是一般筛的3~4倍，在数据量小的时候甚至慢些（用到了mod运算）。它的重量级应用是——求解积性函数。
