【noi 2.6_1759】LIS 最长上升子序列（DP，3种解法）

题意我就不写了。解法有3种：

1.O(n^2)。2重循环枚举 i 和 j，f[i]表示前 i 位必选 a[i] 的最长上升子序列长度，枚举a[j]为当前 LIS 中的前一个数。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1010;
int a[N],f[N];

int mmax(int x,int y) {return x>y?x:y;}
int main()
{
    int n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
      f[i]=1;
      for (int j=1;j<i;j++)
        if (a[i]>a[j]) f[i]=mmax(f[i],f[j]+1);
      ans=mmax(ans,f[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

2.O(n log n)。继正确但不高效的解法后，我们想要对时间复杂度降维。最常见的做法就是二分查找，这题就是把解法1的 j 的O(n)枚举变为O(log n)的二分。那么二分的范围肯定要包含当前的 LIS 的数，而且要知道这些数对应的 f[ ]值。因此，我们只能保存扫完前 i 个选出的最优的 LIS，上述2个条件都可以满足。同时不断扩大和更新（存尽量小的数）这个序列。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=1010;
int a[N],f[N];

int ffind(int l,int r,int x)
{
    if (l==r) return l;
    int mid=(l+r)>>1;
    if (x>f[mid]) return ffind(mid+1,r,x);
    else return ffind(l,mid,x);
}
int main()
{
    int n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    f[++ans]=a[1];
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
      int x;
      if (a[i]>f[ans]) x=++ans;
      else x=ffind(1,ans,a[i]);
      f[x]=a[i];
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

3.O(n log n)。（参考自蓝书 p62，挖了坑，没时间填了......)

for (int i=1;i<=n;i++) g[i]=INF;
for (int i=0;i<n;i++)
{
    int k=lower_bound(g+1,g+n+1,A[i])-g;
    d[i]=k;
    g[k]=A[i];
}