零钱兑换2（Python and C++做法）
题目：
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1
注意:
0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2
思路：
采用动态规划方法。
由于涉及到目标金额数和所使用硬币两个变量，所以状态数组是二维的。
定义状态dp[i][j]：若想拼凑出目标金额i，当只使用coins中的前j个硬币时，一共有dp[i][j]种拼凑方法
状态转移：A.如果当前目标金额可以用硬币拼凑,则当前拼凑方法数=使用编号为j-1的硬币拼凑方法数+不使用该硬币的拼凑方法数；
B.如果当前目标金额不可以用硬币拼凑，则目标金额不变，此时的拼凑方法数和之前的一样
Python解法：
1 class Solution: 2 def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int: 3 nCoins = len(coins) 4 """============================================================== 5 如果创建二维列表时，采用一个列表与‘*’结合创建的方法，则当进行列表操作时， 6 由于是浅拷贝，列表内部内存指向同一块，会导致问题。 7 ==============================================================""" 8 # 定义状态dp[i][j]:若想拼凑出目标金额i，当只使用coins中的前j个硬币时，一共有dp[i][j]种拼凑方法 9 dp = [[0 for _ in range(nCoins+1)] for __ in range(amount+1)] 10 for coin in range(nCoins+1): 11 dp[0][coin] = 1 # 基础条件：使用不同面额的硬币拼凑目标金额为0的方法只有1种 12 13 for i in range(1, amount+1): 14 for j in range(1, nCoins+1): 15 if i - coins[j-1] >= 0: # 状态转移1：如果当前目标金额可以用硬币拼凑 16 dp[i][j] = dp[i-coins[j-1]][j] + dp[i][j-1] # 当前拼凑方法数=使用编号为j-1的硬币拼凑方法数+不使用该硬币的拼凑方法数 17 else: # 状态转移2：如果当前目标金额不可以用硬币拼凑 18 dp[i][j] = dp[i][j-1] # 目标金额不变，此时的拼凑方法和之前的一样 19 return dp[amount][nCoins]
C++解法：
1 class Solution { 2 public: 3 int change(int amount, vector<int>& coins) { 4 int n = coins.size(); 5 // 定义状态dp[i][j]:若想拼凑出目标金额i，当只使用coins中的前j个硬币时，一共有dp[i][j]种拼凑方法 6 vector<vector<int>> dp(amount+1, vector<int>(n+1)); // 申请大小为(amount+1)*(n+1)的动态二维数组 7 for(int j = 0; j <= n; j++) 8 dp[0][j] = 1; // 基础条件：使用不同面额的硬币拼凑目标金额为0的方法只有1种 9 10 for(int i = 1; i <= amount; i++) { 11 for(int j = 1; j <= n; j++) { 12 if(i - coins[j-1] >= 0) // 状态转移1：如果当前目标金额可以用硬币拼凑 13 dp[i][j] = dp[i - coins[j-1]][j] + dp[i][j-1]; // 当前拼凑方法数=使用编号为j-1的硬币拼凑方法数+不使用该硬币的拼凑方法数 14 else // 状态转移2：如果当前目标金额不可以用硬币拼凑 15 dp[i][j] = dp[i][j-1]; // 目标金额不变，此时的拼凑方法和之前的一样 16 } 17 } 18 return dp[amount][n]; 19 } 20 };
