图的应用—拓扑排序

一、有向无环图

针对：有向无环图：没有形成回路的有向图。类似于树

有向无环图通常用来描述一个工程或系统的进行过程（通常把计划、施工、生产、程序流程图当成一个工程），且一个工程可以分为若干个子工程，只要完成这些子工程，就可以导致整个工程的完成。

AOV网：

用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，其中顶点表示活动、弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网

特点：

若从i到j有一条有向路径，则i是j的前驱；j是i的后继。

从i到j其中可以有其他的结点，比如从c1到c5是一条有向路径。其中c1是c5的前驱，c5是c1的后继

若<i，j>是网中的有向边，则i是j的直接前驱，j是i的直接后继。

从i到j中间不能有其他结点，比如c1到c3，c1是c3的直接前驱，c3是c1的直接后继

拓扑排序（将一个网变成一个线性序列）

在AOV网没有回路的前提下，我们将全部活动排列成一个线性序列，使得若AOV网中有弧<i，j>存在，则在整个序列内，i一定排在j的前面，具有这种性质的线性序列称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排列算法称为拓扑排序。

思路：
在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之：选择c1

从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。从图中删除c1及其有向边

重复上面两部，直到全部顶点均已输出，或者当图中不存在无前驱顶点位置。

输出的序列就是一个拓扑序列（因此拓扑序列不是唯一的，但是在整个序列表内，前驱一定在后继的前面）

利用拓扑排序就可以检测AOV网中是否存在环：如果所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网必定不存在环。

AOE网：

用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，以弧表示活动，以顶点表示活动的开始或结束时间（活动的开始点或者结束点），称这种有向图为边表示活动的网

把工程计划表示为边表示活动的网络，用顶点表示事件、弧表示活动，弧的权表示活动持续时间
事件表示：在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始

关键路径：

设一个工程由11项活动，9个事件。

其中事件v1表示工程的开始（源点：入度为0的顶点），事件v9表示整个工程的结束（汇点：出度为0的顶点）。

对于AOE网，我们一般关系两个问题：1.完成整个事件需要的事件，2.那些活动是影响工程进度的关键。

关键路径——路径长度最长的路径。（是影响工程进度的关键）
路径长度——路径上各活动持续时间之和。（）

对于确定关键路径需要定义四个描述量：

1.ve（vj）—表示事件vj的最早发生时间
源点的ve（v1）= 0， ve（v2） = 6

2.vl（vj）—表示事件vj的最迟发生时间
从汇点往回推，推点此点最迟发生时间才能保证工程能正确完成
vl（v7）= 整个工程总时间 - a10（v7时间开始后所需要的时间）

3.e（i）表示活动ai的最早开始时间（边）
e（a4） = 6

4.l（i）表示活动ai最迟开始时间
e（a8） = 整个工程总时间 - a11 - a8（最短需要时间才能完成的项目）

l（i） - e（i）—表示完成活动ai的时间余量，表示可以在这某段时间的任意时间开始执行，都不会影响进度。

关键活动—关键路径上的活动即l（i）== e（i），没有活动余量。关键路径由多个关键活动构
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) - w_j,k（w_j，k为持续时间）

ve(j) = 前驱结点的时间加上当前活动的持续时间
从源点向汇点推算，如果由多个值，取最大值

vl(k) = 后继结点的时间减去当前活动持续时间
从汇点向源点推算，如果有多个值，取最小值

求最早发生时间

等所有执行完才能执行下一个V_j。也就是说最长时间是等V_x执行完，才能开始执行到V_j,也就是82+6 = 88.所以ve(v_j） = 88

求最晚发生时间

等所有执行完才能执行下一个Vn_。也就是说最长时间是等Vu执行完，才能执行到Vn

汇点要求10（天/小数）完成，由总时间 - 每条的持续时间求出
最迟发生时间 vl(V_j) = 10 - 持续时间求出最小值，即vl(V_j) = 0

例子:

1.求ve(i), vl(i)
2.求 e(i), l(i)
3.计算 l(i) - e(i)

1.源点最早发生时间 ve(v1) = 0

2.v2、v3、v4最找发生事件要等事件a1、a2、a3 结束才可以执行，也就是ve(v2) = 6、 ve(v3) =4 、ve(v4) = 5

3. v5顶点有两个前置事件，必须都执行完才可以执行v5。有两个时间段，一个经过v2的7，一个经过v3的5，选择多个时间的最大值7，因此ve(v5) = 7

4. 其余节点类似

1.汇点最晚发生事件 vl(v9) = el(v9) =18

2.v7、v8的最晚发生事件 = 后继结点的最晚时间 - 事件的持续时间。也就是 vl(v8) =18 -4 =14 vl(v7) = 18 -2 =16。

3.v5的顶点有两个后继时间，意味着 v5的最晚发生时间要能使后面事件有最小的足够时间完成
vl(v7) - a7、vl(v8) - a8 都等于 7，vl(v5) = 7

4.其余结点类似

求活动的余量，要求出活动的最早和最晚开始时间，在相减。

弧e(i) = 弧尾的最早发生时间
弧l(i) = 弧头的最早发生时间 - 时间的持续时间

求出活动余量，活动余量为零 = 关键活动
关键路径有关键活动组成

如果网中有几条关键路径，则需加快同时在几条关键路径上的关键活动。
a、a8、a10 和a11要同时加快

如果一个活动处于所有的唯一的一条关键路径上，提高整个活动就能加快。
a1、a4加快都能缩短时间且互不影响。

但是不能缩短过多，否则可能会使原来的关键路径变成不是关键路径，这些必须重新寻找关键路径。