图的应用—最短路径

应用问题：交通路径问题，选择最短路径

顶点——表示地点
弧——表示两个地点由路连通
弧上的权值——表两地点之间的路径，花费等。

实际就是：在有向网中A点（源点）到达B点（终点）的多个路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。
（最短路径和最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点，也不一样包含n-1条边）

1.第一类问题：两点之间最短路径

1.1.Dijkstra（迪杰斯特拉）算法：按照路径长度递增次序生产最短路径

1.初始化：先找从源点V到终点U是否有直达路径，即通过一条弧到达的路径
2.选择：从源点开始到下一个结点 这些路径中找出一条长度最端的路径(V,K)
3.跟新：然后对其余各条路径进行适当调整
            若在图中存在弧（K , M），且(V， K) + (K, U) < （V，U）
            则进行替换
   在调整后的各条路径在，再找长度最短的路径，依次类推

例子：

      

1.初始化，令S = {V₀ }   T = {其余顶点}。T中顶点对应的距离值用辅助数组D存放。

             D[i]初值：若<V₀，V_i>存在，则为其权值，否则为∞。

2.将V₀到其余各个结点的值找出来，如果可以直达记录其权值，如果需要经过其他结点才能到达则记为∞。结束后将选取一个其距离最小的顶点并入S集合中。

3.继续计算从V₀到其余结点的权值，但是将V₂结点看作V₀的一部分。若加入的中间点从V₀到V_i的距离比不加中间点的路径要短，则修改此距离。重复S = V为止。

4.重复之前步骤

 

1.2求所有路径间的最短路径

方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstran算法n次

方法二：Floyd（弗洛伊德）算法

2.第二类问题：某源点到其他各点最短路径

Floyd（弗洛伊德）算法

思想
逐个顶点试探加入
从V_i到V_j的所有可能存在的路径中
选出一条长度最短的路径

1.通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。先初始化设置一个n阶方阵，若存在弧<V_i,V_j>,则为对于权值，否则为∞

 

2.逐步设置在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间顶点后路径变短，则修改，否则维持。所有顶点是贪玩则算法结束。（类似于

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法逐步加入点来求最短距离）

原来A到C是11，途径B之后是4+2=6

在将c加入中间点，目前可以通过的中间点就由A,B,C。判断由开始点到终点可以经过中间点的最短路径