图的应用—最小生成树

 

生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图。（从任意点出发可以遍历到其他任何点，但是不能回到自身）

一个图可以有许多棵不同的生成树了，但是其中
        生成树的顶点个数和图的顶点个数相同
        生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通。
         一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边(反之不一定)，再加一条边必然形成回路。则其中任意两个顶点间的路径是唯一的。

1.无向图的生成树

 最小生成树：给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权值之和最小的那颗生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。（最小生成树不唯一）

应用：n个城市之间建立通讯网，求最小花费

顶点——表示城市有n个
边——表示线路，有n-1条
边的权值——表示线路的经济代价
连通网——表示n个城市间通讯网

算法实现

构造最小生成树的算法都利用了MST的性质

MST性质：设N = (V, E) 是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若边(u，v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在某一颗包含边(u，v)的最小生成树。

理解：将集合U和其他所有结点构成的集合V-U路径之间的权值比较，找到最小的权值路径，并将其加入集合U中，则其一定包含在最小生成树中。

1.Prim（普里姆）算法

理解：初始随机选择一个顶点，找出其和其他的结点的最小权值。然后加入，依次循环，直到所有结点都加入其中。

2.Kruskal(克鲁斯卡尔)算法

理解：初始化将所有顶点加入其中，依次从小到大的权值加入，判断每一条权值是否已经有重复顶点，如果有这舍去，取下一条边。

（3）两种算法的比较

时间算法比较：Prim算法  每一个结点和其他会比较，一共有n个结点，则为n²

                        Kruskal算法  只计算变数