二维向量之间一些运算的含义

二维：a向量（x1,y1），b向量（x2,y2）

三维：a向量（x1,y1,z1），b向量（x2,y2,z2）

 

1、判断点位于直线右侧、左侧、落在直线上

x1*y1-x2*y1>0，C在直线AB左侧

x1*y1-x2*y1=0，C在直线AB上

x1*y1-x2*y1<0，C在直线AB右侧

 

2、判断直线平行或者垂直

二维：

平行：x1*y2-x2*y1=0

垂直：x1*x2+y1*y2=0

 

三维：

向量法a(x1,y1，z1) b(x2,y2,z2)

平行：x1/x2=y1/y2=z1/z2=k

垂直：a*b=x1x2+y1y2+z1z2=0

3、向量法求直线交点坐标

a向量（x1-x2,y1-y2）,b向量（x3-x4,y3-y4）。一共四个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)

分母为 0 时表示直线平行或者重合。
线段、射线的话需要额外判断交点「在不在外面」。

原理我也不太清楚，我是在知乎上看到的：https://www.zhihu.com/question/38642943?sort=created

 

4、二维向量的点积

a*b = x1*x2+y1*y2

点积的几何意义：向量a在b上面的投影。注意，这里也说明了点积的结果为常量，而非向量：

 

三维向量的点积：

a*b = x1*x2+y1*y2+z1*z2

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影。

 

5、二维向量的叉积

1）其模等于两个向量所组成的平行四边形的面积。计算公式：x1*y2-x2*y1

2）方向为垂直于两个向量所在平面。

所以叉积和点积不一样，叉积的结果是向量，而不是常量。

 

三维向量的叉积：

 

向量i=（1，0，0）

向量j=（0，1，0）

向量k=（0，0，1）

 

a*b的向量=（y1*z2-y2*z1，-(x1*z2-x2*z1)，x1*y2-x2*y1）

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。