HDU - 4135 容斥原理

题意：

给你一个n，你需要找出来在区间[A，B]内有多少个数和n互质

数字1与每一个整数都互质

 

题解：

参考链接：https://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115470.html

欧拉函数是求区间[1,n]内与n互质的数的数量，想要了解的可见：Relatives POJ - 2407 欧拉函数 

所以这道题就不能用欧拉函数来解决

 

分析：我们可以先转化下：用(1,b)区间与n互质的数的个数减去(1,a-1)区间与n互质的数的个数,那么现在就转化成求(1,m)区间 于n互质的数的个数,如果要求的是(1,n)区间与n互质的数的个数的话，我们直接求出n的欧拉函数值即可，可是这里是行不通的! 我们不妨换一种思路：就是求出(1,m)区间与n不互质的数的个数，假设为num，那么我们的答案就是：m-num!现在的关键就是： 怎样用一种最快的方法求出(1,m)区间与n不互质的数的个数？方法实现：我们先求出n的质因子(因为任何一个数都可以分解成 若干个质数相乘的),如何尽快地求出n的质因子呢？我们这里又涉及两个好的算法了!

第一个：用于每次只能求出一个数的质因子, 适用于题目中给的n的个数不是很多，但是n又特别大的;(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115399.html)

第二个：一次求出1~n的所有数的质因子

适用于题目中给的n个数比较多的，但是n不是很大的。(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/01/3112035.html) 本题适用第一个算法！

 

举一组实例吧:假设m=12,n=30.

第一步：求出n的质因子：2,3,5；

第二步：(1,m)中是n的因子的倍数当然就不互质了(2,4,6,8,10)->n/2 6个,(3,6,9,12)->n/3 4个,(5,10)->n/5 2个。 如果是粗心的同学就把它们全部加起来就是：6+4+2=12个了，那你就大错特错了,里面明显出现了重复的,我们现在要处理的就是如何去掉那些重复的了！

第三步：这里就需要用到容斥原理了，公式就是：n/2+n/3+n/5-n/(2*3)-n/(2*5)-n/(3*5)+n/(2*3*5).

第四步:我们该如何实现呢？我在网上看到有几种实现方法：dfs(深搜)，队列数组，位运算三种方法都可以！上述公式有一个特点： n除以奇数个数相乘的时候是加，n除以偶数个数相乘的时候是减。我这里就写下用队列数组如何实现吧：我们可以把第一个元素设为-1然后具体看代码如何实现吧！

 

 

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll v[10000],index,n;
void oula()  //获取n的所有质因数
{
    ll ans=n;
    for(ll i=2; i<=sqrt(n); ++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            v[index++]=i;
            n/=i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        v[index++]=n;
}
ll get_result(ll m)//返回1——m这个范围内与n有公因数的数的个数
{
    ll que[10000],i,j,k,t=0,sum=0;
    que[t++]=-1;
    for(i=0; i<index; i++)
    {
        k=t;
        for(j=0; j<k; j++)
            que[t++]=que[j]*v[i]*(-1);
    }
    for(i=1; i<t; i++)
        sum=sum+m/que[i];
    return sum;
}
int main()
{
    ll t;
    int p=0;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        ll a,b;
        index=0;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n);
        oula();
        a--;
        printf("Case #%d: %lld\n",++p,(b-get_result(b))-(a-get_result(a)));
    }
    return 0;
}