HDU - 4135 容斥原理

题意:

给你一个n,你需要找出来在区间[A,B]内有多少个数和n互质

数字1与每一个整数都互质

 

题解:

参考链接:https://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115470.html

欧拉函数是求区间[1,n]内与n互质的数的数量,想要了解的可见Relatives POJ - 2407 欧拉函数 

所以这道题就不能用欧拉函数来解决

 

分析:我们可以先转化下:用(1,b)区间与n互质的数的个数减去(1,a-1)区间与n互质的数的个数,那么现在就转化成求(1,m)区间 于n互质的数的个数,如果要求的是(1,n)区间与n互质的数的个数的话,我们直接求出n的欧拉函数值即可,可是这里是行不通的! 我们不妨换一种思路:就是求出(1,m)区间与n不互质的数的个数,假设为num,那么我们的答案就是:m-num!现在的关键就是: 怎样用一种最快的方法求出(1,m)区间与n不互质的数的个数?方法实现:我们先求出n的质因子(因为任何一个数都可以分解成 若干个质数相乘的),如何尽快地求出n的质因子呢?我们这里又涉及两个好的算法了!

第一个:用于每次只能求出一个数的质因子, 适用于题目中给的n的个数不是很多,但是n又特别大的;(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/03/3115399.html)

第二个:一次求出1~n的所有数的质因子

适用于题目中给的n个数比较多的,但是n不是很大的。(http://www.cnblogs.com/jiangjing/archive/2013/06/01/3112035.html) 本题适用第一个算法!

 

举一组实例吧:假设m=12,n=30.

第一步:求出n的质因子:2,3,5;

第二步:(1,m)中是n的因子的倍数当然就不互质了(2,4,6,8,10)->n/2 6个,(3,6,9,12)->n/3 4个,(5,10)->n/5 2个。 如果是粗心的同学就把它们全部加起来就是:6+4+2=12个了,那你就大错特错了,里面明显出现了重复的,我们现在要处理的就是如何去掉那些重复的了!

第三步:这里就需要用到容斥原理了,公式就是:n/2+n/3+n/5-n/(2*3)-n/(2*5)-n/(3*5)+n/(2*3*5).

第四步:我们该如何实现呢?我在网上看到有几种实现方法:dfs(深搜),队列数组,位运算三种方法都可以!上述公式有一个特点: n除以奇数个数相乘的时候是加,n除以偶数个数相乘的时候是减。我这里就写下用队列数组如何实现吧:我们可以把第一个元素设为-1然后具体看代码如何实现吧!

 

 

代码:

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<math.h>
 6 #include<queue>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long ll;
 9 ll v[10000],index,n;
10 void oula()  //获取n的所有质因数
11 {
12     ll ans=n;
13     for(ll i=2; i<=sqrt(n); ++i)
14     {
15         if(n%i==0)
16         {
17             v[index++]=i;
18             n/=i;
19             while(n%i==0)
20                 n/=i;
21         }
22     }
23     if(n>1)
24         v[index++]=n;
25 }
26 ll get_result(ll m)//返回1——m这个范围内与n有公因数的数的个数
27 {
28     ll que[10000],i,j,k,t=0,sum=0;
29     que[t++]=-1;
30     for(i=0; i<index; i++)
31     {
32         k=t;
33         for(j=0; j<k; j++)
34             que[t++]=que[j]*v[i]*(-1);
35     }
36     for(i=1; i<t; i++)
37         sum=sum+m/que[i];
38     return sum;
39 }
40 int main()
41 {
42     ll t;
43     int p=0;
44     scanf("%lld",&t);
45     while(t--)
46     {
47         ll a,b;
48         index=0;
49         scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n);
50         oula();
51         a--;
52         printf("Case #%d: %lld\n",++p,(b-get_result(b))-(a-get_result(a)));
53     }
54     return 0;
55 }

 

posted @ 2020-05-13 15:54  kongbursi  阅读(268)  评论(0编辑  收藏  举报