Miller_Rabbin算法判断大素数
普通的素数测试我们有O(√ n)的试除算法。事实上，我们有O(s*log³n)的算法。
下面就介绍一下Miller_Rabbin算法思想：
定理一：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1(mod p)。即假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（费马小定理）
定理二：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。
它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式（就是a^(p-1) mod p恒等于1式子），则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。
但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。
一些问题：
1、对于p-1=(2^t) * k这个t的找法，可以记录一下x（x表示(p-1)）的二进制形式下末尾有多少0，比如二进制(1000)B代表的是十进制(8)D,8的二进制数形式下末尾0有3个，那么也就是8=(2^3)*1;再例如二进制(11000)B代表的是十进制(24)D,24的二进制数形式下末尾0有3个，那么也就是24=(2^3)*3
2、对于随机数a的生成，因为我们这个算法判断的是p这个数是不是素数，那么素数和任意一个数都互质，题目又有要求a<p所以就随机生成一个[1,p-1]范围内的数就行
3、这个算法的复杂度是O(s*log³n)，这个s是我们提前定好的，因为上面说了我们用的是费马小定理的逆否命题，但是该定理的逆命题是不一定成立的，但是令人可喜的是大多数情况是成立的。所以我们可以多找几个数a来验证一下p是否是素数，找几个数，这个多少数就是s
可以证明，使用以上两个定理以后，检验s次出错的概率至多为2^(-s)，所以这个算法是很可靠的。
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<queue> 6 #include<map> 7 #include<vector> 8 #include<math.h> 9 #define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a)) 10 using namespace std; 11 typedef long long LL; 12 const int maxn=50005; 13 const int mod=26; 14 const int INF=0x3f3f3f3f; 15 const int Times = 10; 16 const int N = 5500; 17 LL ct, cnt; 18 LL fac[N], num[N]; 19 LL gcd(LL a, LL b) //求两数最大公因子 20 { 21 return b? gcd(b, a % b) : a; 22 } 23 LL multi(LL a, LL b, LL m) //快速乘 24 { 25 LL ans = 0; 26 a %= m; 27 while(b) 28 { 29 if(b & 1) 30 { 31 ans = (ans + a) % m; 32 b--; 33 } 34 b >>= 1; 35 a = (a + a) % m; 36 } 37 return ans; 38 } 39 LL pow(LL a, LL b, LL m) //快速幂 40 { 41 LL ans = 1; 42 a %= m; 43 while(b) 44 { 45 if(b & 1) 46 { 47 ans = multi(ans, a, m); 48 b--; 49 } 50 b >>= 1; 51 a = multi(a, a, m); 52 } 53 return ans; 54 } 55 bool Miller_Rabin(LL n) //判断是不是素数 56 { 57 if(n == 2) return true; 58 if(n < 2 || !(n & 1)) return false; 59 LL m = n - 1; 60 int k = 0; 61 while((m & 1) == 0) 62 { 63 k++; //这个k就是我们讲的时候的t 64 m >>= 1; //这个m就是k 65 } 66 for(int i=0; i<Times; i++) //Times就是我们事先定义的s（要找a的个数） 67 { 68 LL a = rand() % (n - 1) + 1; //找一个[1,n-1]内的任意数 69 LL x = pow(a, m, n); 70 LL y = 0; 71 for(int j=0; j<k; j++) 72 { 73 y = multi(x, x, n); 74 if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false; 75 x = y; 76 } 77 if(y != 1) return false; 78 } 79 return true; 80 } 81 int main() 82 { 83 LL n; 84 while(cin>>n) 85 { 86 if(Miller_Rabin(n)) 87 printf("是素数\n"); 88 else printf("不是素数\n"); 89 } 90 return 0; 91 }
