三种求最大公约数的方法

一、辗转相除法

原理：

辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。
原理
设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。
第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。

 

图示：

辗转相除法：以大数除以小数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数（Greatest CommonDivisor：gcd）。否则就用余数来除刚才的除数；
再用这新除法的余数去除刚才的余数。依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数。即：gcd（x,y）表示x与y的
最大公约数，有gcd(x,y)=gcd（y,x%y），如此便可把原问题转化为求两个更小数的公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者的最
大公约数。

 

 

 

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <ctype.h>
#include<string.h>
#include <math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    //不需要特判a与b的大小，如果a小于b，那么递归一次gcd两者就会交换值
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    printf("%d\n",gcd(2,4));
}

 

二、更相减损法

原理：

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

 

图示：

此算法简单来说是：将a和b减， 得到的差值赋值给c，并判断是否为0，如果不为0，则将b赋值给a，将c赋值给a， 然后重复上述步骤直到c为0。a-b=c，算法直观来看就是这个数学算式的左移操作，和辗转相除法实现方式很是接近，应该本源思路是一样的。

 

 

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <ctype.h>
#include<string.h>
#include <math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    int c = 0;
    if(a<b) swap(a,b);
    c = b;
    do
    {
        b = c;
        a>b ? c = a - b : c = b - a;
        a = b;
    } while (c != 0);
    return b;
}
int main()
{
    printf("%d\n",gcd(2,4));
}

 

三、穷举法

找到两个数中那个小的，然后从它开始for循环，如果有满足的就输出然后break，否则就让这个值减去一再进行判断

 

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <ctype.h>
#include<string.h>
#include <math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    for(int i=min(a,b);i>=1;--i)
    {
        if(a%i==0 && b%i==0) return i;
    }
}
int main()
{
    printf("%d\n",gcd(2,4));
}