Beautiful numbers CodeForces - 55D
题意:
找出区间[li,ri]内有多少数满足,这个数的每一个位的非0数都能把这个数整除
题解:
因为这个数每一位的值都可以把这个数整除,那也就是说这个数是它所有位数的公倍数,但是可能不是最小公倍数。
1、2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520
那么我就可以让我们要判断的那个数去取余2520来实现我们记忆化操作
因为1——9的最小公倍数是2520,所以1——9中任意几个数的最小公倍数肯定是2520的余数,所以我们只需要找出来1——2520之中所有2520的余数就可以了。最后找出来也就48个
给这48个位置每一个映射一个值
这个样子就又可以减小dp数组的大小
dp[x][y][z]表示:枚举到第x位,这个数取余2520的结果是y,这个数目前所有位数的最小公倍数所对应的映射是z
代码:
1 //首先要求能被各位上的数整除,可以转化为被一个数整除问题。 2 //这个数就是各位上数的最小公倍数LCM(不是GCD)。 3 //其次,处理整除问题,得转化成数位DP的余数模板。1~9的LCM最大是2520, 那么%2520,让其可以开数组进行记忆化搜索。 4 //最后, 对于不能%2520最后结果,再%各个数位累计过来的LCM。 5 //这样下来,需要开20*2520*2520的数组,往CF上一交你会发现MLE。 6 //仔细观察每次的LCM,其范围是1~2520没错,但是都是整除gcd的结果(LCM=a*b/gcd(a,b) ),也就是说所有LCM都是某个数的约数。 7 //这个数其实就是2520。所以DP之前,为2520打个表,把LCM给离散化Hash。这样其实只有48个LCM了。数组开20*2520*50即可。 8 //注意结果是int64。 9 #include<stdio.h> 10 #include<string.h> 11 #include<algorithm> 12 #include<iostream> 13 #include<map> 14 using namespace std; 15 const int maxn=20; 16 const int mod=2520; 17 typedef long long ll; 18 ll v[maxn],dp[maxn][mod+50][50]; 19 map<ll,ll>w; 20 ll lcm(ll a,ll b) 21 { 22 ll ans=min(a,b); 23 while(ans) 24 { 25 if(a%ans==0 && b%ans==0) break; 26 ans--; 27 } 28 return (a*b)/ans; 29 } 30 ll dfs(ll pos,ll sum,ll sta,bool limit) 31 { 32 if(sta==0)return 0; 33 if(pos==-1) 34 { 35 return sum%sta==0; 36 } 37 if(!limit && dp[pos][sum][w[sta]]!=-1) return dp[pos][sum][w[sta]]; 38 ll up=limit?v[pos]:9; 39 ll tmp=0; 40 for(ll i=0;i<=up;++i) 41 { 42 if(i>0) 43 { 44 tmp+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%mod,lcm(sta,i),limit && i==v[pos]); 45 46 } 47 else tmp+=dfs(pos-1,(sum*10+i)%mod,sta,limit && i==v[pos]); 48 } 49 if(!limit) dp[pos][sum][w[sta]]=tmp; 50 //只有上界为9的时候才会往dp数组里面存,因为这样能节省更多的时间 51 return tmp; 52 } 53 ll solve(ll ans) 54 { 55 ll pos=0; 56 while(ans) 57 { 58 v[pos++]=ans%10; 59 ans/=10; 60 } 61 return dfs(pos-1,0,1,true); 62 } 63 int main() 64 { 65 ll t,l,r,m=0; 66 scanf("%I64d",&t); 67 for(ll i=1;i<=mod;++i) 68 { 69 if(mod%i==0) 70 { 71 ++m; 72 w[i]=m; 73 } 74 } 75 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 76 while(t--) 77 { 78 scanf("%I64d%I64d",&l,&r); 79 printf("%I64d\n",solve(r)-solve(l-1)); 80 } 81 w.clear(); 82 return 0; 83 }