网络流算法
原文博客：https://blog.csdn.net/stevensonson/article/details/79177530
网络流图是一张只有一个源点和汇点的有向图，而最大流就是求源点到汇点间的最大水流量，下图的问题就是一个最基本，经典的最大流问题
二.流量，容量和可行流
对于弧(u,v)来说，流量就是其上流过的水量(我们通常用f(u,v)表示)，而容量就是其上可流过的最大水量(我们通常用c(u,v)表示)，只要满足f(u,v)<=c(u,v)，我们就称流量f(u,v)是可行流(对于最大流问题而言，所有管道上的流量必须都是可行流)。
三.增广路
如果一条路上的所有边均满足:正向边: f(u,v)< c(u,v) ——– 反向边：f(u,v)> 0则我们称这条路径为一条增广路径，简称增广路。
好了，弄懂了一些定义，接下来就可以介绍著名的Ford-Fulkerson算法了。
如图所示，如果我们每次都找出一条增广路，只要这条增广路经过汇点，那说明此时水流还可以增加，增加的量为d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。
我们可以这样理解：对于每一条正向边，他能添加的最大水流为c(u,v)-f(u,v)。而对于反向边来说，当正向边上的水流增多时，反向边自身的反向水流会减少，而其能减少的最多水量为f(u,v)。由于要保证添加水流之后，所有的f(u,v)都是可行流，所以我们取最小值。
增加之后，我们要更新流量，每条正向边+d,每条反向边-d即可。
既然这样，我们的思路就是：
1.找出一条增广路径 ——2.修改其上点的值——3.继续重复1，直至找不出增广路。则此时源点的汇出量即为所求的最大流。
我这里就不贴这个算法的代码了，想看的可以去原文上面看。在这里我贴一下DINIC算法代码模板：
DINIC算法
Dinic算法是网络流最大流的优化算法之一，每一步对原图进行分层，然后用DFS求增广路。时间复杂度是O(n^2*m)，Dinic算法最多被分为n个阶段，每个阶段包括建层次网络和寻找增广路两部分。
Dinic算法的思想是分阶段地在层次网络中增广。它与最短增广路算法不同之处是：最短增广路每个阶段执行完一次BFS增广后，要重新启动BFS从源点st开始寻找另一条增广路;而在Dinic算法中，只需一次BFS过程就可以实现多次增广。
简单来说，分为下面几步：
1.在剩余网络中查找是否存在从S到T的路径，同时建分层图。
分层图的层数其实就是S到i这个点需要几步。
2.沿着分层图多路增广。
增广时一定要满足dis[j]=dis[i]+1。
3.直到没有S到T的路径是结束算法。
下面代码的题目解析可以到这里看https://www.cnblogs.com/kongbursi-2292702937/p/11782283.html
代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #include<queue> 6 using namespace std; 7 const int maxn=10000; 8 const int INF=0x3f3f3f3f; 9 int head[maxn],cnt,st,en,dis[maxn],cur[maxn]; 10 struct edge 11 { 12 int v,next,c,flow; 13 }e[maxn]; 14 void add_edge(int x,int y,int z) 15 { 16 e[cnt].v=y; 17 e[cnt].c=z; 18 e[cnt].flow=0; 19 e[cnt].next=head[x]; 20 head[x]=cnt++; 21 } 22 bool bfs() 23 { 24 memset(dis,0,sizeof(dis)); 25 dis[st]=1; 26 queue<int>r; 27 r.push(st); 28 while(!r.empty()) 29 { 30 int x=r.front(); 31 r.pop(); 32 for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].next) 33 { 34 int v=e[i].v; 35 if(!dis[v] && e[i].c>e[i].flow) 36 { 37 dis[v]=dis[x]+1; 38 r.push(v); 39 } 40 } 41 } 42 return dis[en]; 43 } 44 int dinic(int s,int limit) 45 { 46 if(s==en || !limit) return limit; 47 int ans=0; 48 for(int &i=cur[s];i!=-1;i=e[i].next) 49 { 50 int v=e[i].v,feed; 51 if(dis[v]!=dis[s]+1) continue; 52 feed=dinic(v,min(limit,e[i].c-e[i].flow)); 53 if(feed) 54 { 55 e[i].flow+=feed; 56 e[i^1].flow-=feed; 57 limit-=feed; 58 ans+=feed; 59 if(limit==0) break; 60 } 61 } 62 if(!ans) dis[s]=-1; 63 return ans; 64 } 65 int main() 66 { 67 memset(head,-1,sizeof(head)); 68 //从这开始都是建图 69 int n,f,d; 70 scanf("%d%d%d",&n,&f,&d); 71 st=0; 72 en=2*n+f+d+1; 73 for(int i=1;i<=f;++i) 74 { 75 add_edge(st,2*n+i,1); 76 add_edge(2*n+i,st,0); 77 } 78 for(int i=1;i<=d;++i) 79 { 80 add_edge(2*n+f+i,en,1); 81 add_edge(en,2*n+f+i,0); 82 } 83 for(int i=1;i<=n;++i) 84 { 85 add_edge(i,n+i,1); 86 add_edge(n+i,i,0); 87 int sum1,sum2; 88 scanf("%d%d",&sum1,&sum2); 89 int x; 90 for(int j=0;j<sum1;++j) 91 { 92 scanf("%d",&x); 93 add_edge(x+2*n,i,1); 94 add_edge(i,x+2*n,0); 95 } 96 for(int j=0;j<sum2;++j) 97 { 98 scanf("%d",&x); 99 add_edge(n+i,x+f+2*n,1); 100 add_edge(x+f+2*n,n+i,0); 101 } 102 } 103 //到这建图结束 104 105 int ans=0; 106 while(bfs()) 107 { 108 for(int i=0;i<=en;i++) 109 cur[i]=head[i]; 110 ans+=dinic(st,INF); 111 } 112 printf("%d\n",ans); 113 return 0; 114 }
