区间选点(最大不相交区间数)

区间选点：https://www.acwing.com/problem/content/907/
最大不相交区间数：https://www.acwing.com/problem/content/910/

题目描述

给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。
输出选择的点的最小数量。
位于区间端点上的点也算作区间内。

输入描述

第一行包含整数 N，表示区间数。
接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出描述

输出一个整数，表示所需的点的最小数量。
1≤N≤105
−109≤ai≤bi≤109

示例

输入

3
-1 1
2 4
3 5

输出

2

分析

算法过程

本题算法过程如下：

1. 将每个区间按照右端点从小到大进行排序。
2. 从前往后枚举区间，end值初始化为无穷小，之后：
   • 如果本次区间不能覆盖掉上次区间的右端点， end < range[i].l
     说明需要选择一个新的点， ans++ ; end = range[i].r;
   • 如果本次区间可以覆盖掉上次区间的右端点，则进行下一轮循环。

证明

ans代表满足题意的点数的最小值。证明如下：

• 证明ans<=cnt ：cnt 是一种可行方案， ans是可行方案的最优解，也就是最小值。
• 证明ans>=cnt ： cnt可行方案是一个区间集合，区间从小到大排序，两两之间不相交，要想覆盖这cnt个区间必然需要cnt个点。

因此，ans=cnt。

推广

区间选点问题可以推广应用于最大不相交区间数问题。
满足条件的最少选点数=最大不相交区间数
按照我们选点的原则，一个点就代表着几个相交的区间。

AC代码

---

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> P;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
P range[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		range[i].first = r;
		range[i].second = l;
	}
	sort(range, range + n);
	int ans = 0;
	int r = -1e9 - 10;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (range[i].second > r)
		{
			ans++;
			r = range[i].first;
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}