最短Hamilton路径

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/93/

题目描述#

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。
Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入描述#

第一行输入整数 n。
接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。
对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出描述#

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10^7

示例#

输入#

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出#

18

分析#

约定#

记从i到j的距离为s[i][j]

状态表示#

f(i,j)表示满足如下条件行走方案的最小路径长度：

• i为状态量，表示行走时经过的点
• 从0点出发到达j

将i看作一个二进制数，第k位不为0表示途径k点，为0表示不经过k点。

状态划分与计算#

对于f(i,j)，我们还是按照以往的思路，试着将达成f(i,j)的最后一步操作进行划分。
对应本题中，我们要关注的就是整个路径中的倒数第二个点，通过对倒数第二个点是谁进行分类。
状态转移方程如下：
f(i,j)=min(f(i-(1<<j),k)+s[k][j])
还有一些处理详见代码。

边界处理#

f(1,0)=0，其余都是正无穷。

AC代码#

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 20, M = 1 << N;
int n;
int f[M][N];
int s[N][N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			cin >> s[i][j];

	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[1][0] = 0;
	for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
		for (int j = 1; j < n; j++)
			if (i >> j & 1)		//目的地是j 那i中j对应的那一位得是1 否则没有必要继续讨论
				for (int k = 0; k < n; k++)
					if ((i - (1 << j)) >> k & 1)  //倒数第二个点对应的位也得是1
						f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + s[k][j]);

	//最终解果是经过所有点到达n-1
	cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
	return 0;
}